Trovare l'f(z) di cui u(x,y) è parte reale
Salve a tutti, sono nuovo e spero vivamente che mi possiate aiutare (ho l'esame di analisi 3 tra pochi giorni e non so più a che santo votarmi). Uno dei quesiti in cui ho delle difficoltà è, appunto trovare l'olomorfa f(z) di cui la seguente u(x,y) è parte reale:
$ u(x,y)=x*log(x^2+y^2)-2y*artg(y/x)$
dal calcolo delle derivate parziali e con l'applicazione delle condizioni di Cauchy-Reimann ho ottenuto qualcosa del tipo:
$ v(x,y)=y*log(y^2+x^2)+2x*artg(y/x)$
adesso devo esprimere $u+iv$ in funzione di z... ho provato qualche "artificio" ma non ne vengo a capo. Qualcuno ci riesce?
grazie anticipatamente..
a presto (con nuovi dubbi... che sicuramente avrò)
$ u(x,y)=x*log(x^2+y^2)-2y*artg(y/x)$
dal calcolo delle derivate parziali e con l'applicazione delle condizioni di Cauchy-Reimann ho ottenuto qualcosa del tipo:
$ v(x,y)=y*log(y^2+x^2)+2x*artg(y/x)$
adesso devo esprimere $u+iv$ in funzione di z... ho provato qualche "artificio" ma non ne vengo a capo. Qualcuno ci riesce?
grazie anticipatamente..a presto (con nuovi dubbi... che sicuramente avrò)
Risposte
Io più di questo non riesco a fare:
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(x+iy)log(x^2+y^2)-2(y-ix)arctan(y/x)$
$f(z)=(x+iy)log((x+iy)*(x-iy))+2i(x+iy)arctan(y/x)$
$f(z)=zlog(zz')+2iz*arctan(y/x)$
ho segnato con $z'$ il coniugato perchè non so come si faccia il segnetto sopra...manca l'argomento dell'arcotangente ma non sono riuscito a capire come fare...
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(x+iy)log(x^2+y^2)-2(y-ix)arctan(y/x)$
$f(z)=(x+iy)log((x+iy)*(x-iy))+2i(x+iy)arctan(y/x)$
$f(z)=zlog(zz')+2iz*arctan(y/x)$
ho segnato con $z'$ il coniugato perchè non so come si faccia il segnetto sopra...manca l'argomento dell'arcotangente ma non sono riuscito a capire come fare...
[tex]\displaystyle z=x+iy=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)[/tex] dove [tex]\theta=\textrm{arg}\,z[/tex]
Con [tex]\textrm{arg}[/tex] ho indicato la funzione argomento principale che è certamente continua su [tex]\{\Re(z)\neq0\}[/tex],
Dovrebbe anche essere olomorfa (occhio al condizionale non ne sono certo...)
Quindi
[tex]\displaystyle \arctan\frac{y}{z}=\arctan(\tan\theta)=\theta=\textrm{arg}\,z[/tex]
Ciao!
Edit: Scusatemi tanto, ma [tex]\textrm{arg}[/tex] naturalmente NON è olomorfa, è a valori in [tex]\mathbb{R}[/tex] e non è costante...
Con [tex]\textrm{arg}[/tex] ho indicato la funzione argomento principale che è certamente continua su [tex]\{\Re(z)\neq0\}[/tex],
Dovrebbe anche essere olomorfa (occhio al condizionale non ne sono certo...)
Quindi
[tex]\displaystyle \arctan\frac{y}{z}=\arctan(\tan\theta)=\theta=\textrm{arg}\,z[/tex]
Ciao!
Edit: Scusatemi tanto, ma [tex]\textrm{arg}[/tex] naturalmente NON è olomorfa, è a valori in [tex]\mathbb{R}[/tex] e non è costante...
$"arg"$ non è certamente olomorfa ma è la parte immaginaria della determinazione principale del logaritmo complesso.
"dissonance":
$"arg"$ non è certamente olomorfa, ma è (il coefficiente de) la parte immaginaria della determinazione principale del logaritmo complesso.
La cui parte reale è [tex]\ln|z|[/tex]... E ho detto tutto.
grazie a tutti per la collaborazione...
dunque possiamo dire di essere arrivati alla conclusione in questo modo?
$f(z)=zlog(zz')+2iz*arctan(y/x)$
che quindi sarà:
$f(z)=zlog|z|^2+2iz*arg(z)$
ciao,grazie ... alla prossima.
dunque possiamo dire di essere arrivati alla conclusione in questo modo?
$f(z)=zlog(zz')+2iz*arctan(y/x)$
che quindi sarà:
$f(z)=zlog|z|^2+2iz*arg(z)$
ciao,grazie ... alla prossima.
ecco un'altro esercizio analogo... analogamente cattivo:
trovare la $f(z)$ la cui parte immaginaria risulta:
$v(x,y)=e^(x^2-y^2)cos(2*x*y)$
dunque... la parte reale dovrebbe essere (salvo errori... magari, verificate)
$u(x,y)=-e^(x^2-y^2)sin(2*x*y)$
a questo punto come dovrebbe essere la f(z)?
trovare la $f(z)$ la cui parte immaginaria risulta:
$v(x,y)=e^(x^2-y^2)cos(2*x*y)$
dunque... la parte reale dovrebbe essere (salvo errori... magari, verificate)
$u(x,y)=-e^(x^2-y^2)sin(2*x*y)$
a questo punto come dovrebbe essere la f(z)?
$-(e^(x^2-y^2)sin(2xy)-ie^(x^2-y^2)cos(2xy))$
$i(e^(x^2-y^2)cos(2xy)+ie^(x^2-y^2)sin(2xy))$
$ie^(x^2-y^2)*(cos(2xy)+isin(2xy))$
$ie^(x^2-y^2)*e^(i2xy)$
$ie^(x^2+2ixy-y^2)$
$ie^((x+iy)^2)$
$ie^(z^2)$
non so se sia accettabile avere la $i$ per poterla chiamare $f(z)$, ma è l'unica cosa che ho trovato
$i(e^(x^2-y^2)cos(2xy)+ie^(x^2-y^2)sin(2xy))$
$ie^(x^2-y^2)*(cos(2xy)+isin(2xy))$
$ie^(x^2-y^2)*e^(i2xy)$
$ie^(x^2+2ixy-y^2)$
$ie^((x+iy)^2)$
$ie^(z^2)$
non so se sia accettabile avere la $i$ per poterla chiamare $f(z)$, ma è l'unica cosa che ho trovato
grande pizzaf40. grazie!
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