Trovare le soluzioni della seguente equazione complessa.....

[smaug1]

Ragazzi io mi sto esercitanto per il compito di analisi, e trovo spesso sui test degli anni passati almeno un'equazione che riguarda i complessi. Il mio prof non ha mai fatto un esempio sulle equazione complesse e sto cercando di capirle da solo. Su internet ho visto metodi risolutivi differenti ma questo è molto semplice, è sempre valido? mi sembra strano che non ci sia bisogno di usare la formula delle radici complesse, trigonometria etc etc...

http://www.webalice.it/francesco.daddi/files/esercizio_20_numeri_complessi.pdf

Quindi tornando a noi, ho preso un'equazione da un test d'esame dell'anno scorso:
\(\displaystyle z^3\overline{z} = -4i \)

Posso dire che \(\displaystyle z=x + iy \) e quindi ho:
\(\displaystyle
= (x + iy)^3(x-iy) = -4i \)

\(\displaystyle = (x^3 - iy^3 + 3ix^2y - 3xy^2)(x - iy) = -4i \)

\(\displaystyle = x^4 - ix^3y - xy^3 - y^4 + 3ix^3y + 3x^2y^2 - 3x^2y^2 + 3ixy^3 = -4i \)

ma come faccio a separare la parte reale e immaginaria se si semplifica poco o niente?

[albertobosia]

ricordando che \(z\bar z=|z|^2\) e \(|z|^2=|z^2|\) si ha
\(z^3\bar z=z^2|z|^2=z^2|z^2|=-4i\)
ora poni \(z^2=y\) e hai una di quelle che sai risolvere.

consiglio: a mio avviso se porti in forma esponenziale ti resta più facile

\(y=\rho e^{i\theta}\)
\(y|y|=\rho^2e^{i\theta}=\ \ \ -4i=4e^{-i\frac\pi2}\)
\(\rho=2\), \(\displaystyle\theta=-\frac\pi2\)
\(y=-2i\)
quindi, andiamo a sostituire.
\(z=\pm\sqrt{-2i}=\pm(1-i)\)

le tue soluzioni sono quindi
\(z_1=1-i\)
\(z_2=i-1\)