Trovare le soluzion al variare di un parametro

[Nikko96]

mi aiutate a risolvere questo esercizio $ logx=x^2-l^2 $

[wanderer1]

ciao,

io prenderei in considerazione la funzione $f(x)= x^2 - l - ln(x)$, per poi trovarne gli zeri al variare del parametro $l$.
Partiamo col notare alcune cose:

- $lim_(x->0^+) f(x) = +\infty$

- $lim_(x->+\infty) f(x) = +\infty$

- $(df)/dx = (x^2-1)/x$

pertando si trova che la funzione presenta un minimo assoluto a: $x = sqrt(2)/2$. Quindi:

- quando $f( sqrt(2)/2 ) = 0$ (ovvero quando $l = 1/2(ln 2 + 1)$) abbiamo un solo 0, e quindi una sola soluzione all'equazione originaria

-quando $l < 1/2(ln 2 + 1)$ (e quandi quando $f_(min) > 0$), non ci stanno zeri\soluzioni

-quando $l > 1/2(ln2 + 1)$ (e quandi quando $f_(min) < 0$), ci stanno 2 zeri\soluzioni (facilmente dimostrabile tramite il teorema degli zeri)