Trovare le ascisse dei punti del grafico nei quali la normale passa per l’origine

[Marconi981]

Buongiorno,
ho provato a risolvere il seguente esercizio, ma senza successo.

11) Tracciare il grafico della curva y * (1 + x^2)= 1. Trovare poi le ascisse dei punti del grafico nei quali la normale passa per l’origine.

Nessun problema nel tracciare il grafico della curva e nel calcolare l'equazione della tangente.

Come si trova l'equazione della "normale"?
Ho provato a trovare il reciproco e l'opposto del coefficiente angolare della tangente, ma senza successo.

Grazie in anticipo
Marconi

[Pierlu11]

Che vuol dire "Ho provato a trovare il reciproco e l'opposto del coefficiente angolare della tangente, ma senza successo"?
Il metodo per trovare la perpendicolare ad una retta è trovare l'antireciproco del coefficiente angolare e imporre un eventuale passaggio per un punto (in questo caso il punto di tangenza)... magari se qualcosa non torna ci sono errori di calcolo.

[Marconi981]

Mi correggo. La funzione è y*(1+x^2) = 1

Ho calcolato la derivata che risulta essere -2x/(1+x^2)^2.

L'ho sostituita nella formula y-y0 = y' (x-x0)

ed ottengo, esplicitando la y, y=(-2x/(1+x^2)^2)*(x-x0)+y0.

Potresti dirmi dove sbaglio e come fare? Grazie

[Pierlu11]

Scrivere $y=\frac{-2x_0}{(1+x_0^2)^2}(x-x_0)+y_0$ è più corretto visto che stai considerando il coefficiente angolare in $(x_0,y_0)$. Comunque quella che hai scritto è la tangente, la normale ha coefficiente $\frac{(1+x_0^2)^2}{2x_0}$ quindi è $y=\frac{(1+x_0^2)^2}{2x_0}(x-x_0)+y_0$. Ora pasta imporre che $(0,0)$ appartiene a tale retta.

[Marconi981]

Quando vado a sostituire 0 al posto di x0 e y0, non incorro in una divisione per 0?

[Pierlu11]

$0$ lo devi sostituire a $x$ e $y$, non a $ x_0$ e $y_0$.

[Marconi981]

Quindi il risultato finale è y0 = (1+x0^2 )^2 / 2 ?

[Pierlu11]

Esatto. Ovviamente non ti scordare che $y_0$ e $x_0$ soddisfano l'equazione della curva...