Trovare la somma di una serie di potenze
Salve,
ho visto che data la serie di potenze $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{n+1}}{n+1}$ con $z\in \mathbb{C}$ la serie derivata è pari alla serie geometrica $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n$ che sappiamo essere convergente se e solo se $|z|<1$. E poichè la serie derivata ha (per via di un teorema) lo stesso campo di convergenza della serie originaria, anche $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{n+1}}{n+1}$ converge per $|z|<1$.
Ora, poichè $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n=\frac{1}{1-z}$ quando $|z|<1$, mi chiedo....potrei conoscere la somma della serie di partenza ?
Ragionando in $\mathbb{R}$, se poniamo $g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$ con $g:]-1,\ 1[\to \mathbb{R}$ integrando $g(x)$ scopro che $f(x)=-\ln |1-x|$ è una primitiva ed è la somma di $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
Quindi la mia domanda è, in realtà: come si potrebbe fare (e se si può fare) lo stesso o analogo ragionamento in $\mathbb{C}$ ?
ho visto che data la serie di potenze $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{n+1}}{n+1}$ con $z\in \mathbb{C}$ la serie derivata è pari alla serie geometrica $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n$ che sappiamo essere convergente se e solo se $|z|<1$. E poichè la serie derivata ha (per via di un teorema) lo stesso campo di convergenza della serie originaria, anche $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{n+1}}{n+1}$ converge per $|z|<1$.
Ora, poichè $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n=\frac{1}{1-z}$ quando $|z|<1$, mi chiedo....potrei conoscere la somma della serie di partenza ?
Ragionando in $\mathbb{R}$, se poniamo $g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$ con $g:]-1,\ 1[\to \mathbb{R}$ integrando $g(x)$ scopro che $f(x)=-\ln |1-x|$ è una primitiva ed è la somma di $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
Quindi la mia domanda è, in realtà: come si potrebbe fare (e se si può fare) lo stesso o analogo ragionamento in $\mathbb{C}$ ?
Risposte
Purtroppo hai scoperchiato un vespaio! 
Un ragionamento simile al tuo porta ad una possibile definizione del logaritmo complesso. Il problema è che il logaritmo complesso non è una funzione univoca ma multivoca, e quindi per formalizzare bene il tutto ti servono degli strumenti un po' più sofisticati.
Un ragionamento simile al tuo porta ad una possibile definizione del logaritmo complesso. Il problema è che il logaritmo complesso non è una funzione univoca ma multivoca, e quindi per formalizzare bene il tutto ti servono degli strumenti un po' più sofisticati.
Ah quindi diciamo che non è così semplice come quando si ha una serie di funzioni definita in $\mathbb{R}$, giusto?
Ma...una curiosità: dato che in $\mathbb{R}$ quel logaritmo è la somma di quella serie...potrebbe accadere che quel logaritmo in $\mathbb{C}$ non sia olomorfo?
Ma...una curiosità: dato che in $\mathbb{R}$ quel logaritmo è la somma di quella serie...potrebbe accadere che quel logaritmo in $\mathbb{C}$ non sia olomorfo?
Sì lo è, ma con la condizione di restringere il dominio a [tex]$\mathbb{C}-\mathbb{R}_{-}$[/tex]; i numeri complessi meno i numeri reali non positivi!
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