Trovare la serie di Fourier a partire da una funzione f
Ho la funzione $f(x) = 2/3 abs(x)$, $2\pi$-periodica, pari e definita in $[-\pi, 0]$. Devo trovare la serie di Fourier di $f$.
Utilizzo la formula: $a_0/2 + \sum_{k=1}^(infty) (a_k cos(kx) + b_k sen(kx))$ dove devo trovare opportunamente $a_0$, $a_k$ e $b_k$.
So che $f$ è una funzione pari perciò $f(x) cos(kx)$ è pari, mentre $f(x) sen(kx)$ è dispari.
A questo punto imposto i 3 integrali per trovare i coefficienti:
1) $a_0 = 2/\pi \int_{0}^{pi} f(x) dx$
2) $a_k = 2/\pi \int_{0}^{pi} f(x) cos(kx) dx$
3) $b_k = 1/\pi \int_{-pi}^{pi} f(x)sen(kx) dx$
$a_0$ sarà uguale a $2/3 \pi$ sapendo che nella funzione, per l'intervallo di quest'integrale, $abs(x) = x$.
Ho problemi a risolvere gli integrali per trovare i restanti due coefficienti.
Per $a_k$ ho il seguente integrale: $2/\pi \int_{0}^{pi} 2/3 x cos(kx) dx => 4/(3 \pi k) \int_{0}^{pi} k cos(kx) x dx$ che integrando per parti prendendo $f = x$ e $g' = k cos(kx)$ diventa
$4/(3 pi k) ([x sen(kx)] - 1/k \int_{0}^{pi} k sen(kx) dx) => 4/(3 pi k) (x sen(kx) + 1/k cos(kx))$ dove ciò che è tra parentesi viene calcolato tra $0$ e $pi$.
Ora come proseguo? C'è quel $k$ nel seno e nel coseno che non mi permette di avere un risultato ben definito delle funzioni in questione. Ho guardato alcuni esempi del professore e vedo che ramifica l'esercizio in 2 casi a seconda che $k$ sia pari o dispari, qualcuno sa aiutarmi?
Utilizzo la formula: $a_0/2 + \sum_{k=1}^(infty) (a_k cos(kx) + b_k sen(kx))$ dove devo trovare opportunamente $a_0$, $a_k$ e $b_k$.
So che $f$ è una funzione pari perciò $f(x) cos(kx)$ è pari, mentre $f(x) sen(kx)$ è dispari.
A questo punto imposto i 3 integrali per trovare i coefficienti:
1) $a_0 = 2/\pi \int_{0}^{pi} f(x) dx$
2) $a_k = 2/\pi \int_{0}^{pi} f(x) cos(kx) dx$
3) $b_k = 1/\pi \int_{-pi}^{pi} f(x)sen(kx) dx$
$a_0$ sarà uguale a $2/3 \pi$ sapendo che nella funzione, per l'intervallo di quest'integrale, $abs(x) = x$.
Ho problemi a risolvere gli integrali per trovare i restanti due coefficienti.
Per $a_k$ ho il seguente integrale: $2/\pi \int_{0}^{pi} 2/3 x cos(kx) dx => 4/(3 \pi k) \int_{0}^{pi} k cos(kx) x dx$ che integrando per parti prendendo $f = x$ e $g' = k cos(kx)$ diventa
$4/(3 pi k) ([x sen(kx)] - 1/k \int_{0}^{pi} k sen(kx) dx) => 4/(3 pi k) (x sen(kx) + 1/k cos(kx))$ dove ciò che è tra parentesi viene calcolato tra $0$ e $pi$.
Ora come proseguo? C'è quel $k$ nel seno e nel coseno che non mi permette di avere un risultato ben definito delle funzioni in questione. Ho guardato alcuni esempi del professore e vedo che ramifica l'esercizio in 2 casi a seconda che $k$ sia pari o dispari, qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Se sostituisci gli estremi di integrazioni ti accorgi subito del senso che devi dare al $k$:
$cos kpi$ con $k in ZZ$ vale $1$ per $k$ pari e $-1$ per $k$ dispari, il $sin k pi=0$ per ogni $k in ZZ$
$cos kpi$ con $k in ZZ$ vale $1$ per $k$ pari e $-1$ per $k$ dispari, il $sin k pi=0$ per ogni $k in ZZ$
Dunque a questo punto proseguo ramificando l'integrale in due casi a seconda che $k$ sia pari o meno ottenendo due valori distinti dell'integrale?
Sì
Grazie per l'aiuto! Ho risolto e mi torna:
$a_k={(0,se\ text{k è pari}),(-8/(3 pi k^2),se\ text{k è dispari}):}$
$b_k = 0$
$a_0 = 2/3 pi$
Finisco di svolgere l'esercizio per completezza (non si sa mai che qualcuno in futuro capiti in questo topic
)
Utilizzando la formula $a_0/2 + \sum_{k=1}^(infty) (a_k cos(kx) + b_k sen(kx))$ posso tralasciare il caso in cui $k$ sia pari perché sia $a_k$ che $b_k$ sono nulli e dentro la sommatoria rimane semplicemente $0$.
Nel caso in cui invece $k$ sia dispari ottengo:
$1/3 pi + \sum_{k=1}^(infty) (-8/(3 pi (2k-1)^2) cos((2k -1)x))$
Nella serie ho espresso $k$ come $2k - 1$ per "sottointendere" sia dispari.
(Chiedo conferma dei miei ragionamenti per sicurezza)
$a_k={(0,se\ text{k è pari}),(-8/(3 pi k^2),se\ text{k è dispari}):}$
$b_k = 0$
$a_0 = 2/3 pi$
Finisco di svolgere l'esercizio per completezza (non si sa mai che qualcuno in futuro capiti in questo topic
)Utilizzando la formula $a_0/2 + \sum_{k=1}^(infty) (a_k cos(kx) + b_k sen(kx))$ posso tralasciare il caso in cui $k$ sia pari perché sia $a_k$ che $b_k$ sono nulli e dentro la sommatoria rimane semplicemente $0$.
Nel caso in cui invece $k$ sia dispari ottengo:
$1/3 pi + \sum_{k=1}^(infty) (-8/(3 pi (2k-1)^2) cos((2k -1)x))$
Nella serie ho espresso $k$ come $2k - 1$ per "sottointendere" sia dispari.
(Chiedo conferma dei miei ragionamenti per sicurezza)
Mi quadra tutto. Per chiarezza devo dirti che non ricordo come si ottengono le serie di Fourier, tutto quello che ti ho spiegato è relativo al calcolo goniometrico.
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