Trovare la primitiva di una funzione

[tenebrikko]

bunasera a tuttti! allora io ho trovato la primitiva della funzione, ma non corrisponde a ciò che il professore ha dato come risultato... alla terza volta che ci riprovo mi appello a voi.. ho fatto così:
$f(x)= \int log(1+\sqrtx)$
ho agito per parti
$xlog(1+\sqrtx)-\int (x/(1+\sqrtx)* 1/2 1/\sqrtx) dx$
ora per sostituzione $\varphi (t) = \sqrtx rArr x=t^2$
e trovo (tralasciando la parte fuori dall'integrale)
$- \int t^2/(1+t) dt$
aggiungo e tolgo $1$

$-\int (t^2 -1) /(t+1) dt -\int 1/(t+1) dt$ che sono semplici da risolvere perchè $(t^2-1) = (t-1)(t+1)$, semplifico, quindi unendo e sostituendo tutto trovo

$xlog(1+\sqrtx)-(x^2)/2+\sqrtx-log(\sqrtx+1)+c$ ma non me lo da corretto! dove ho sbagliato?

[Gi81]

"tenebrikko":$xlog(1+\sqrtx)-(x^2)/2+\sqrtx-log(\sqrtx+1)+c$ ma non me lo da corretto! dove ho sbagliato?

Quasi tutto corretto.
Semplicemente non è $-x^2/2$ ma $-x/2$

[tenebrikko]

si scusa ho copiato male dagli appunti! era t che non ho trasformato! percui il procedimento è corretto?

[Antimius]

Sì, anche a me sembra corretto. Ma quanto dovrebbe venirti?

[Gi81]

Il procedimento è correttissimo.
Puoi verificare se hai fatto giusto derivando la soluzione che hai trovato:

$g(x)=xlog(1+\sqrtx)-x/2+\sqrtx-log(\sqrtx+1)+c$ che puoi anche scrivere $g(x)=(x-1)*log(sqrtx +1) -x/2 +sqrtx+c$
Hai $g'(x)=log(sqrtx+1) +(x-1)*(1/(sqrtx +1))*1/(2sqrtx)-1/2+1/(2sqrtx)


Ora tieni presente che $(x-1)=(sqrtx+1)(sqrtx -1)$, quindi puoi semplificare e ottenere
$g'(x)=log(sqrtx+1) +(sqrtx-1)*1/(2sqrtx)-1/2+1/(2sqrtx)=log(sqrtx+1) +(sqrtx)*1/(2sqrtx)-1/(2sqrtx)-1/2+1/(2sqrtx)=log(sqrtx+1)

[tenebrikko]

grazie mille sarà un'altra forma in cui scrivere la primitiva..

[ciampax]

Mi aggrego ad Antimius: quale sarebbe la risposta esatta?