Trovare la prima derivata che non si annulla in 0 di una fun

[el_kikkos]

buonasera,
all'ultimo esame di analisi ho incontrato questo esercizio: "trovare la prima derivata che non si annulla nello zero della funzione $tan(cos(x^2)-1)+x^4/2$ "
Ho capito che bisogna usare gli sviluppi di MacLaurin delle funzioni in questione, ma non so proprio come fare per trovare qualcosa che non si annulla in 0, poichè ogni volta che sostituisco $x=0$ nel polinomio ottenuto mi viene 0, allora probabilmente non è questo il metodo da utilizzare. Qualcuno ha idea di come procedere?
Grazie per l'attenzione

[Obidream]

Basta scrivere il Polinomio di Taylor per $x=0$...

$tan(-x^4/2+x^8/24+o(x^8))+x^4/2$

$x^8/24+o(x^8)$

Quindi la prima derivata non nulla in $x=0$ è l'ottava ed in particolare vale $(8!)/24=1680$

[el_kikkos]

Ok, grazie mille!
Ho un ultimo dubbio però: come hai trovato quel valore in x=0 per la derivata ottava?

[Obidream]

In generale tu sai che un Polinomio di Taylor è fatto in questo modo:

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)(x-x_0)^2/(2!)...+f^(text{(}8text{)})(x_0)(x-x_0)^8/(8!)+o((x-x_0)^8)$

Nel nostro caso $x_0=0$ e abbiamo $(f^(text{(}8text{)})(x_0))/(8!)=1/24$ da cui si ricava che $f^(text{(}8text{)})(x_0)=(8!)/24$