Trovare la funzione inversa
Buongiorno. Oggi mi sto cimentando in un altro esercizio. Questo dice :
Dimostrare che la funzione $f(x)=2x+sin(x)+2 ,x in cc(R)$ è invertibile. detta g l'inversa calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 centrato in 2 di g.Il fatto di dimostrare l'invertibilità è semplice e l'ho già fatto. Ora io pensavo che si dovesse risolvere trovando analiticamente la funzione inversa di f. Tuttavia però non credo anche perchè dovrebbe essere abbastanza complicato. Non so bene ma dato che ho il punto dove calcolarmi il polinomio di Taylor. non posso procedere in un altro modo ? In fondo è di ordine 2.. Grazie a chi mi risponderà.
Dimostrare che la funzione $f(x)=2x+sin(x)+2 ,x in cc(R)$ è invertibile. detta g l'inversa calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 centrato in 2 di g.Il fatto di dimostrare l'invertibilità è semplice e l'ho già fatto. Ora io pensavo che si dovesse risolvere trovando analiticamente la funzione inversa di f. Tuttavia però non credo anche perchè dovrebbe essere abbastanza complicato. Non so bene ma dato che ho il punto dove calcolarmi il polinomio di Taylor. non posso procedere in un altro modo ? In fondo è di ordine 2.. Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Esiste un teorema che ti permette di calcolare le derivate delle funzioni inverse anche senza conoscerne l'espressione esplicita. Sicuramente lo conosci o comunque c'è sul tuo libro o sui tuoi appunti. Cercalo e applicalo ( 
).
).
ok cercando sul libro ho trovato che $g'(y)=1/(f'(g(y)))$ tuttavia per fare taylor devo fare anche il primo termine che dovrebbe essere $ g(y)$ e il teorema è solo sulla derivata della funzione inversa . Quindi come procedo?
prova a ragionare su questo: a te serve $g(2)$, se non sbaglio, e cioè $f^-1(2)$; puoi osservare che $f^-1(2)= {x|f(x)=2 } $ che si riduce ad un singleton poichè la f è invertibile...
"Zilpha":...oppure anche, più concretamente, a ricordare che se $f(x)=y$ allora $x=g(y)$. E' la stessa cosa che dice Zilpha, eh, solo detta in modo meno astratto.
prova a ragionare su questo: a te serve $g(2)$, se non sbaglio, e cioè $f^-1(2)$; puoi osservare che $f^-1(2)= {x|f(x)=2 } $ che si riduce ad un singleton poichè la f è invertibile...
@dissonance: ah giusto, in effetti io avevo cancellato per riscriverlo in modo più chiaro, ma poi non mi veniva meglio di così. 
ok quindi devo risolvere $2x+sin(x)+2=2$ il corrispondente punto in 2 della $ g(x)$, giusto? quindi l'equazione ha soluzione per $x=0$ Quindi g(2)=0? Ho fatto bene?
nessuno che mi dice se ho fatto bene? se capisco questo so anche come fare la derivata!!
si hai fatto bene
"svarosky90":
il corrispondente punto in 2 della $ g(x)$
anche se questa frase non ha molto senso
"Zilpha":
[quote="svarosky90"] il corrispondente punto in 2 della $ g(x)$
anche se questa frase non ha molto senso
[/quote]si nella furia mi sono espresso male
Io avrei fatto in questo modo:
determinazione della derivata prima della funzione f(x).
determinazione della derivata prima di g'(x)= 1/[f'(X)]
dopo di che avrei integrato quest'ultima per conoscere g(x).
Lo sviluppo di taylor credo non sia un problema
determinazione della derivata prima della funzione f(x).
determinazione della derivata prima di g'(x)= 1/[f'(X)]
dopo di che avrei integrato quest'ultima per conoscere g(x).
Lo sviluppo di taylor credo non sia un problema
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo