Trovare la funzione inversa..

[21zuclo]

Ciao a tutti, sono bloccato su un esercizio e non riesco ad andare avanti. Non so se è una svista. Va bé aiutatemi a sbloccarmi. Grazie in anticipo.

Determinare l'inversa della seguente funzione $f(x)=\exp(2\arctan(x))+2$

ho risolto così

$\exp(2\arctan(x))+2=y\to \exp(2\arctan(x))=y-2\to 2\arctan(x)=\ln(y-2)\to $

$\arctan(x)=1/2 \ln(y-2)\to \arctan(x)=\ln(\sqrt{y-2})$

ecco e poi non riesco più ad andare avanti..da qui $\arctan(x)=\ln(\sqrt{y-2})$ cosa faccio?

[Noisemaker]

"21zuclo":Ciao a tutti, sono bloccato su un esercizio e non riesco ad andare avanti. Non so se è una svista. Va bé aiutatemi a sbloccarmi. Grazie in anticipo.

Determinare l'inversa della seguente funzione $f(x)=\exp(2\arctan(x))+2$

ho risolto così

$\exp(2\arctan(x))+2=y\to \exp(2\arctan(x))=y-2\to 2\arctan(x)=\ln(y-2)\to $

$\arctan(x)=1/2 \ln(y-2)\to \arctan(x)=\ln(\sqrt{y-2})$

ecco e poi non riesco più ad andare avanti..da qui $\arctan(x)=\ln(\sqrt{y-2})$ cosa faccio?

io farei cosi:

anzitutto la funzione
\begin{align*}
f : \mathbb{R} &\to (\frac{1}{e^{\pi}}+2, e^{\pi} +2)\\
x&\mapsto e^{2\arctan x }+2
\end{align*}

allora l'inversa dovrà essere una funzione
\begin{align*}
f^{-1}: (\frac{1}{e^{\pi}}+2, e^{\pi} +2) &\to \mathbb{R} \\
y&\mapsto \tan\ln(\sqrt{y-2})
\end{align*}
si tratta di capire se la funzione cosi definita effettivamente "vive" in quel domino e in quel codominio ...

[Gi81]

@Noisemaker: sicuro che l'immagine di $f$ sia $(0, e^pi +2)$?

[21zuclo]

scusa ma come hai fatto ad ottenere da qui $\arctan(x)=\ln(\sqrt{y-2})$ questa funzione? $tan(\ln(\sqrt{y-2}))$

non capisco

[Noisemaker]

"Gi8":@Noisemaker: sicuro che l'immagine di $f$ sia $(0, e^pi +2)$?

noo noo nooo ...ho copiato e incollato a "muzzo ... $(\frac{1}{e^{\pi}}+2, e^pi +2)$ ...ho corretto grazie!

[21zuclo]

mi dite per favore, come mai dal punto in cui mi blocco ottengo $\tan(\ln(\sqrt{y-2}))$ ?

Non riesco a capirlo.

[Noisemaker]

"21zuclo":mi dite per favore, come mai dal punto in cui mi blocco ottengo $\tan(\ln(\sqrt{y-2}))$ ?

Non riesco a capirlo.

l'inversa dell'arcotangente è la tangente sotto opportune ipotesi di definizione di dominio e immagine

[21zuclo]

"Noisemaker":[quote="21zuclo"]mi dite per favore, come mai dal punto in cui mi blocco ottengo $\tan(\ln(\sqrt{y-2}))$ ?

Non riesco a capirlo.

l'inversa dell'arcotangente è la tangente sotto opportune ipotesi di definizione di dominio e immagine[/quote]

ah hai applicato la tangente ad ambo i membri. Non so il perchè ma ho visto che l'avevi scritto.

Non la conoscevo questa regola. È un po' come fare con le equazioni logartimiche esatto? Io di trigonometria alle superiori ne ho fatta poca..ti dico non ho fatto neanche le funzioni iperboliche (alle superiori).

Comunque questa cosa che hai fatto di applicare la tangente ad entrambi i membri. Si può fare sempre per trovare l'inversa di funzioni goniometriche esatto?

[Noisemaker]

si be ... applicare la tangente ad ambo i membri lo puoi fare se i membri a cui si applica la tangente possono "sostenerla", perchè come non puoi applicare il logaritmo ad un numero negativo, nonn puoi applicare la tangente ad un numero che sia pari a $\pi/2+2k\pi$ perchè la tangente è definita in tutto $\mathbb{R}$ ecluso i punti $\pi/2+2k\pi,$ quindi si puoi fare ma applicando la tangente al secondo membro della tua fuznione devi assiurarti che $\tan\ln(\sqrt{y-2})\ne\pi/2$ per escudere, dal dominio $(\frac{1}{e^{\pi}}+2, e^{\pi} +2) $ questi punti che rendono la tangene priva di significato; in tal caso allora si hai trovato la funzione inversa di quella assegnata.

[21zuclo]

ah ok grazie!

comunque noto solamente ora che tu Noisemaker alla tua prima risposta, hai messo quel $+2$ all'esponenziale. E invece la funzione è un'esponenziale sommata a +2

è così la funzione $e^(2\arctan(x))+2$