Trovare la funzione che...
Salve, vi propongo questo quesito...:
è possibile trovare una funzione $f(s)$, tale da massimizzare il valore di $\omega(s)$, ossia una seconda funzione (composta della prima) se si sa che:
$\omega^2(s)=-E\delta/\rho\cdot1/(\int_(Gamma)(\intf(s)sds)/(f(s))ds)$ , essendo $Gamma$ un percorso rettilineo aperto?
Preciso che $E$ ha le dimensioni di una pressione, $delta$ è una lunghezza (positiva), $\rho$ una densità (positiva), $s$ una coordinata lineare, misurata in $m$ che varia nell'intervallo: $[0,L]$.
$Gamma$ è invece il segmento compreso tra quegli estremi.
è possibile trovare una funzione $f(s)$, tale da massimizzare il valore di $\omega(s)$, ossia una seconda funzione (composta della prima) se si sa che:
$\omega^2(s)=-E\delta/\rho\cdot1/(\int_(Gamma)(\intf(s)sds)/(f(s))ds)$ , essendo $Gamma$ un percorso rettilineo aperto?
Preciso che $E$ ha le dimensioni di una pressione, $delta$ è una lunghezza (positiva), $\rho$ una densità (positiva), $s$ una coordinata lineare, misurata in $m$ che varia nell'intervallo: $[0,L]$.
$Gamma$ è invece il segmento compreso tra quegli estremi.
Risposte
Visto che nessuno ha detto nulla, scrivo io quello che trovato, così magari potrete darmi delle delucidazioni... 
Cercare un punto di massimo per $omega(s)$ equivale al cercarlo per $omega^2(s)$. In definitiva bisogna cercare un massimo per il denominatore, visto che tutte le costanti sono positive. Quindi bisogna che sia: $d/(df(s))(\omega^2(s))=0$.
Possiamo scambiare l'ordine di derivazione ed integrazione e scrivere:
$\int_(Gamma)d/(df(s))((\intf(s)sds)/(f(s)))=0$
Ora ho pensato che quell'integrale può essere nullo sia se l'integranda è costantemente nulla, sia se essa nel dominio assume sia valori positivi che negativi, in modo che l'area sottesa alla curva sia in totale nulla.
Se però si assume che questa funzione sia continua e non assuma mai valori negativi, allora penso che basti che l'integranda sia costantemente nulla per verificare quella condizione.
Ok, quindi, essendo anche $d/(df(s))=d/(ds)cdot1/(f'(s))$:
$d/(df(s))((\intf(s)sds)/(f(s)))=-(\intf(s)sds)/(f^2(s))+s/(f'(s))=>\intf(s)sds=s(f^2(s))/(f'(s))=>f(s)s=(f^2(s))/(f'(s))+2f(s)s-s f^2(s)(f''(s))/(f'^2(s))=>(f(s))/(f'(s))+s-sf(s)(f''(s))/(f'^2(s))=d/(ds)(s(f(s))/(f'(s)))=0=>s(f(s))/(f'(s))=C/2$
Quindi integrando:
$2/Csds=(df(s))/(f(s))=>ln((f(s))/D)=s^2/C=>f(s)=De^(s^2/C)$,
dove $C$ e $D$ sono due costanti entrambe lunghezze al quadrato.
Le condizioni da imporre sono: $f(0)=A_0=>D=A_0$ e poi imporre che il volume sia uguale ad un valore dato.
Possiamo approssimare il risultato:
$f(s)approxA_0(1+s^2/C)$, quindi trovare agevolmente $C$:
$V=\int_0^LA_0(1+s^2/C)=A_0(L+s^3/(3C))=>1/C=3/L^3(V/A_0-L)$
Ora, però, io so che per avere senso fisico bisogna che l'area trasversale vada a diminuire: $V
Adesso andrebbe verificato che questa funzione massimizzi davvero $omega^2(s)$.
Cercare un punto di massimo per $omega(s)$ equivale al cercarlo per $omega^2(s)$. In definitiva bisogna cercare un massimo per il denominatore, visto che tutte le costanti sono positive. Quindi bisogna che sia: $d/(df(s))(\omega^2(s))=0$.
Possiamo scambiare l'ordine di derivazione ed integrazione e scrivere:
$\int_(Gamma)d/(df(s))((\intf(s)sds)/(f(s)))=0$
Ora ho pensato che quell'integrale può essere nullo sia se l'integranda è costantemente nulla, sia se essa nel dominio assume sia valori positivi che negativi, in modo che l'area sottesa alla curva sia in totale nulla.
Se però si assume che questa funzione sia continua e non assuma mai valori negativi, allora penso che basti che l'integranda sia costantemente nulla per verificare quella condizione.
Ok, quindi, essendo anche $d/(df(s))=d/(ds)cdot1/(f'(s))$:
$d/(df(s))((\intf(s)sds)/(f(s)))=-(\intf(s)sds)/(f^2(s))+s/(f'(s))=>\intf(s)sds=s(f^2(s))/(f'(s))=>f(s)s=(f^2(s))/(f'(s))+2f(s)s-s f^2(s)(f''(s))/(f'^2(s))=>(f(s))/(f'(s))+s-sf(s)(f''(s))/(f'^2(s))=d/(ds)(s(f(s))/(f'(s)))=0=>s(f(s))/(f'(s))=C/2$
Quindi integrando:
$2/Csds=(df(s))/(f(s))=>ln((f(s))/D)=s^2/C=>f(s)=De^(s^2/C)$,
dove $C$ e $D$ sono due costanti entrambe lunghezze al quadrato.
Le condizioni da imporre sono: $f(0)=A_0=>D=A_0$ e poi imporre che il volume sia uguale ad un valore dato.
Possiamo approssimare il risultato:
$f(s)approxA_0(1+s^2/C)$, quindi trovare agevolmente $C$:
$V=\int_0^LA_0(1+s^2/C)=A_0(L+s^3/(3C))=>1/C=3/L^3(V/A_0-L)$
Ora, però, io so che per avere senso fisico bisogna che l'area trasversale vada a diminuire: $V
Adesso andrebbe verificato che questa funzione massimizzi davvero $omega^2(s)$.
C'è nessuno... 
Dai ragazzi, è possibile che nessuno qui dentro, dopo circa 150 letture, sappia dirmi qualcosa in merito... Ne avrei bisogno, è per un lavoro che sto preparando... 
Anzitutto vorrei capire meglio il problema, provo a riformularlo in modo credo equivalente, a quanto ho capito.
E' da trovare la funzione $f$ che minimizza (visto che vuoi massimizzare $\omega$ devi minimizzare il denominatore) il seguente funzionale: $F(f)=\int_0^L sf(s)ds \int_0^L 1/(f(s))ds$. Prima di tutto quando si assegna un problema di minimo per un funzionale (od anche per una funzione) va specificato lo spazio delle funzioni ammissibili, ovvero su che spazio di funzioni tu stai cercando il minimo di $F$. Ignorando per ora tale scelta, ho fatto un rapido conto della variazione prima di $F$ rispetto a variazioni $C_c^\infty(0,L)$ e mi pare che non venga alcuna soluzione, quindi non credo ci sia speranza di avere una funzione di minimo considerando "tutte" le funzioni (almeno misurabili) definite in $(0,L)$.
E' da trovare la funzione $f$ che minimizza (visto che vuoi massimizzare $\omega$ devi minimizzare il denominatore) il seguente funzionale: $F(f)=\int_0^L sf(s)ds \int_0^L 1/(f(s))ds$. Prima di tutto quando si assegna un problema di minimo per un funzionale (od anche per una funzione) va specificato lo spazio delle funzioni ammissibili, ovvero su che spazio di funzioni tu stai cercando il minimo di $F$. Ignorando per ora tale scelta, ho fatto un rapido conto della variazione prima di $F$ rispetto a variazioni $C_c^\infty(0,L)$ e mi pare che non venga alcuna soluzione, quindi non credo ci sia speranza di avere una funzione di minimo considerando "tutte" le funzioni (almeno misurabili) definite in $(0,L)$.
Grazie Luca, ma a me serve di minimizzare questo funzionale:
$F(f)=\int_0^L(\int f(s) sds)/(f(s))ds$
Che mi sembra diverso da quello da te riportato.
Grazie ancora.
$F(f)=\int_0^L(\int f(s) sds)/(f(s))ds$
Che mi sembra diverso da quello da te riportato.
Grazie ancora.
Domanda: quel numeratore della tua funzione integranda e' un integrale a sua volta tra $0$ ed $L$ o e' una generica primitiva di $sf(s)$?
"cavallipurosangue":
Ok, quindi, essendo anche $d/(df(s))=d/(ds)cdot1/(f'(s))$:
Sei sicuro che questo passaggio sia giusto ?
Del tipo se prendiamo le funzioni $f(s)=as+b$ $df=(delf)/(dela) da + (delf)/(delb) db + (delf)/(dels) ds$
Il $df(s)$ che hai scritto a denominatore dovrebbe comprendere solo i primi due termini del differenziale che ho scritto giusto ?
No, è una primitiva.
Sarebbe meglio specificare che primitiva e' pero', non credo che il risultato sia indipendente dalla costante che scegli. Provo a riformulare il funzionale da minimizzare: $F(f)=\int_0^L (1/(f(s))\int_0^s tf(t)dt)ds$.
@Luca: ma se poi tanto derivo, della costante non mi importa, no?
@nonsoxkè: $(dw)/(ds)=(dw)/(df)(df)/(ds)=>(dw)/(df)=(dw)/(ds)1/(f'(s))$ ...
@nonsoxkè: $(dw)/(ds)=(dw)/(df)(df)/(ds)=>(dw)/(df)=(dw)/(ds)1/(f'(s))$ ...
Puo' darsi, ma se vuoi scrivere per bene il funzionale da minimizzare devi usare la notazione dell'integrale definito, non quella dell'integrale indefinito. Intanto cominciamo a vedere che succede con il funzionale che ho scritto io, quello almeno e' corretto come testo?
SI.
Ok, primo problema risolto. Ora devi specificare su quale spazio di funzioni vuoi minimizzare $F$.
Non saprei... tu che suggerisci?
"cavallipurosangue":
Non saprei... tu che suggerisci?
Sospetto che, per aiutarti, Luca dovrebbe sapere qualcosa di più sul problema che stai risolvendo.
Per trovare un minimo è necessario sapere su quale 'insieme' di oggetti si deve cercare ...
ciao
cavallipurosangue forse vuole trovare anche lo spazio di funzioni ma non credo che sia possibile.
Quale metodo hai utlizzato per tirare fuori quella equazione? ce ne può essere un altro che non richieda la determinazione della funzione che minimizza?
Per fare un esempio prendiamo una trave incastrata orizzontale con una forza verticale all'estremo e determiniamo la freccia in funzione della posizione sulla trave: possiamo esprimere l'energia potenziale della forza applicata e quella delle forze interne in funzione della deformazione e quindi trovare quella funzione della posizione che minimizza questa energia per determinare la configurazione di equilibrio (non saprei come risolverlo); oppure possiamo usare il metodo della linea elastica (equazioni cardinali e legame elastico) e si trova direttamente la funzione (che è quella che minimizza l'energia potenziale in assoluto indipendentemente dallo spazio di funzioni che si potrebbe scegliere con l'altro metodo).
Quale metodo hai utlizzato per tirare fuori quella equazione? ce ne può essere un altro che non richieda la determinazione della funzione che minimizza?
Per fare un esempio prendiamo una trave incastrata orizzontale con una forza verticale all'estremo e determiniamo la freccia in funzione della posizione sulla trave: possiamo esprimere l'energia potenziale della forza applicata e quella delle forze interne in funzione della deformazione e quindi trovare quella funzione della posizione che minimizza questa energia per determinare la configurazione di equilibrio (non saprei come risolverlo); oppure possiamo usare il metodo della linea elastica (equazioni cardinali e legame elastico) e si trova direttamente la funzione (che è quella che minimizza l'energia potenziale in assoluto indipendentemente dallo spazio di funzioni che si potrebbe scegliere con l'altro metodo).
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