Trovare la funzione

[dennysmathprof]

1)Trovare la funzione f continua se [tex]f(x)=\int_{0}^{x}(3xt^2-4)dt+\int_{x}^{x+2}f(x-t)dt-\cfrac{2}{5},\forall x \in R[/tex]

2) se [tex]f(x)=x^4-4x+2,[/tex] vogliamo il valore massimo di [tex]k \in \mathbb R: f(x)\ge k , \forall x \in \mathbb R[/tex]

3) se [tex]a,b,c >0[/tex] vogliamo dimostrare che [tex]\cfrac{a^3}{b^4}+\cfrac{b^3}{c^4}+\cfrac{c^3}{a^4}\ge 1/a+1/b+1/c[/tex]

[gugo82]

Idee tue?

Finora ci siamo divertiti... Ma vorremmo vedere pure un po' di partecipazione da parte tua.

[Rigel1]

Per 1) direi \(f(x) = x^4-4x-14\), 2) è troppo facile (\(k=-1\)), per 3) aspettiamo gli esperti di AM-GM

[dennysmathprof]

Rigel grazie

Allora per [tex]f(x)=x[t^3]_{0}^{x}-4[t]_{0}^{x}+\int_{-2}^{0}f(u)du-2/5\Rightarrow

f(x)=x^4-4x-2/5+c, c=\int_{-2}^{0}f(u)du[/tex] e adesso metendo la f(x), ho

[tex]\int_{-2}^{0}(u^4-4u-2/5+c)du=c\Rightarrow .... c=-68/5\Rightarrow f(x)=x^4-4x-14[/tex]

2) abbiamo [tex]g(x)=x^4-4x-14-k\ge 0[/tex] e sicome [tex]g{'}(x)=4x^3-4\Rightarrow

g(x)\searrow if x\in (-\infty, 1] e g(x) \nearrow if x\in [1,+\infty)\Rightarrow ming(x)\ge 0, -17-k\ge 0,k\le -17\Rightarrow[/tex], cioe' max [tex]k=-17[/tex]

Se pero [tex]f(x)=x^4-4x+2, kmax=-1[/tex]

[dennysmathprof]

se [tex]f(x)=x^4-4x+2\ge -1\Rightarrow x^4\ge 4x-3,[/tex] e mettendo su questa [tex]a/b,b/c,c/a,[/tex]

e dopo aggiungiamo queste arriviamo ....[tex]\cfrac{a^4}{b^4} \ge 4\cfrac{a}{b}-3\Rightarrow \cfrac{a^3}{b^4}\ge 4\cfrac{1}

{b}-3\cfrac{1}{a}[/tex] etc

[gugo82]

Simpatica la soluzione usando la funzione assegnata.

Un'altra è la seguente.

Ricordiamo una disuguaglianza che servirà in seguito:

Siano \(\alpha_1,\ldots \alpha_N >0\) tali che \(\alpha_1+\cdots +\alpha_N=1\) e \(p Allora:
\[
\tag{1}
\left( \alpha_1\ x_1^p +\cdots +\alpha_N\ x_N^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \alpha_1\ x_1^q +\cdots +\alpha_N\ x_N^q\right)^{\frac{1}{q}}
\]
per ogni \(x_1,\ldots , x_N\geq 0\). Inoltre, l'uguaglianza in (1) vale se e solo se \(x_1=\cdots =x_N\).

Dimostriamo la disuguaglianza:
\[
\tag{A}
\frac{a^3}{b^4} + \frac{b^3}{c^4} + \frac{c^3}{a^4} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\; .
\]
Passo 1. Cominciamo a mostrare (A) vale sotto l'ulteriore condizione:
\[
\tag{B}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\; .
\]
Dimostrare la (A) sotto la condizione (B) equivale a far vedere che:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{a^3}{b^4} + \frac{b^3}{c^4} + \frac{c^3}{a^4} \geq 1\; ,
\]
cosa che adesso faremo.
Notiamo che:
\[
\frac{a^3}{b^4} + \frac{b^3}{c^4} + \frac{c^3}{a^4} = \frac{1}{a}\ \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \frac{1}{b}\ \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \frac{1}{c}\ \left(\frac{c}{a}\right)^4 \; ,
\]
quindi il primo membro della (A) assomiglia ad una media del tipo di quelle che figurano nella (1); perciò possiamo cercare di applicare la (1) e trarne qualche conseguenza.
La disuguaglianza (1) con \(N=3\), \(\alpha_1=1/a\), \(\alpha_2=1/b\), \(\alpha_3 =1/c\), \(p=1\) e \(q=4\) si riscrive:
\[
\frac{1}{a}\ x_1 +\frac{1}{b}\ x_2 + \frac{1}{c}\ x_3 \leq \left( \frac{1}{a}\ x_1^4 +\frac{1}{b}\ x_2^4 + \frac{1}{c}\ x_3^4 \right)^{\frac{1}{4}}\; ,
\]
per \(x_1,x_2,x_3>0\); se in essa poniamo \(x_1 = a/b\), \(x_2=b/c\) ed \(x_3=c/a\) troviamo:
\[
\left( \frac{1}{a}\ \left(\frac{a}{b}\right)^4 +\frac{1}{b}\ \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \frac{1}{c}\ \left(\frac{c}{a}\right)^4 \right)^{\frac{1}{4}} \geq \frac{1}{\cancel{a}}\ \frac{\cancel{a}}{b} +\frac{1}{\cancel{b}}\ \frac{\cancel{b}}{c} + \frac{1}{\cancel{c}}\ \frac{\cancel{c}}{a} = 1
\]
perciò elevando alla quarta potenza i membri esterni abbiamo:
\[
\frac{a^3}{b^4} + \frac{b^3}{c^4} + \frac{c^3}{a^4} \geq 1\; ,
\]
che è quanto volevamo.

Passo 2. Mostriamo infine che la disuguaglianza (A) vale in ogni caso.
Se \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =\lambda \neq 1\), riscalando troviamo \(\frac{1}{\lambda a} + \frac{1}{\lambda b} + \frac{1}{\lambda c} =1\) e dunque possiamo applicare la (A) ai numeri \(\lambda a\), \(\lambda b\) e \(\lambda c\): facendo ciò otteniamo:
\[
\frac{1}{\lambda} \left( \frac{a^3}{b^4} + \frac{b^3}{c^4} + \frac{c^3}{a^4} \right)=\frac{(\lambda a)^3}{(\lambda b)^4} + \frac{(\lambda b)^3}{(\lambda c)^4} + \frac{(\lambda c)^3}{(\lambda a)^4} \geq 1 = \frac{1}{\lambda}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)
\]
che, semplificato \(\lambda\), è la (A). \(\square\)

Inoltre, noto che la condizione di uguaglianza in (1) implica che al Passo 1 si ha uguaglianza se e solo se i numeri \(x_1 = a/b\), \(x_2=b/c\) ed \(x_3=c/a\) sono tutti uguali e la loro somma è \(=1\), cioè se \(a=b=c=1/3\).
Di conseguenza, nel Passo 2 l'uguaglianza è soddisfatta se e solo se \(a=b=c\).

Quindi l'enunciato dell'esercizio può essere completato come segue:

Per ogni \(a,b,c>0\):
\[
\frac{a^3}{b^4} + \frac{b^3}{c^4} + \frac{c^3}{a^4} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\; ,
\]
e l'uguaglianza vale se e solo se \(a=b=c\).

P.S.: Ok, forse si possono evitare i due passi; ma la dimostrazione l'avevo pensata così e così l'ho scritta (inoltre, mi piaceva abbastanza il fatto di usare l'omogeneità della disuguaglianza per ottenere il caso generale dal particolare).

[totissimus]

Ancora un'altra soluzione (?).

La funzione \(\displaystyle f(x)=x^4\) è convessa per \( x>0\) quindi:

\(\displaystyle f(\lambda_1 x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3 x_3)\leq \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\lambda_3f(x_3)\) per \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1, \lambda_i\geq 0 \)

Ponendo:

\(\displaystyle \lambda_{1}=\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}},\lambda_{2}=\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}},\lambda_{3}=\frac{\frac{1}{c}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}},x_1=\frac{a}{b},x_2=\frac{b}{c},x_3=\frac{c}{a}\)

la precedente disuguaglianza diventa:

\( \displaystyle \left(\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)^{4}\leq\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\frac{a^{3}}{b^{4}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\frac{b^{3}}{c^{4}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\frac{c^{3}}{a^{4}} \)

da cui segue immediatamente la disuguaglianza proposta.