Trovare la f

[dennysmathprof]

[/code]se per la funzione f abbiamo [tex]xf'(x)-f(x)=x^2+f^2(x) ,x\in (0,\pi/2),f(\pi/4)=\pi/4[/tex]

qualle e' la f ?

[ostrogoto1]

Dividendo tutto per $ x^2 $

$ 1/xf'-1/x^2f=1/x^2f^2+1 $
definendo
$ g= 1/xf $
e considerando che
$ d/(dx)(1/xf)=-1/x^2f+1/xf' $ e quindi
l'equazione iniziale diventa:

$ g'=g^2+1 $

piu' che semplice da risolvere!

[dennysmathprof]

Grazie ostrogoto

Se vuoi proseguire ,sarebe meglio ,cosi vedono tutti la soluzione

ciao

[ostrogoto1]

l'equazione e' a variabili separabili $ int(dg)/(g^2+1)=intdx $
$ artg(g)=x+C $
$ g= tg(x+C) $
$ f=xg $ quindi $ f(x)=xtg(x+C) $
dal dato iniziale e per l'intervallo delle x indicato
$ pi/4=pi/4tg(pi/4+C) rArr C=0 $
quindi la soluzione del problema di Cauchy iniziale e':
$ f(x)=xtg(x) $

Ma l'esame lo devo passare io o tu?!