Trovare la f
Se f una funzione due volte derivabile e ancora [tex]f \ {'}{'}(x)=\cfrac{f(x)}{x^4}, x<0[/tex]
qualle e' la f ?
qualle e' la f ?
Risposte
Ma $f$ dove è definita? Solo per $x<0$ o quella è una particolare condizione?
Ciampax buon giorno [tex]x\in (-\infty,0)[/tex]
dennys
dennys
Allora si tratta di un'equazione diff che richiede un paio di cambi di variabile (almeno per come l'ho risolta io... 
) affinche' diventi una ben nota:
$ k=1/x $ quindi $ dx=-1/k^2dk $; calcolando la derivata seconda
$ d/dx((df)/dx)= -k^2d/(dk)(-k^2(df)/(dk))=-k^2(-2k(df)/(dk)-k^2(d^2f)/(dk))=k^4(d^2f)/(dk)+2k^3((df)/(dk)) $
cosi' l'equazione iniziale diventa dopo aver semplificato per $ k^3 $ ( ' indica derivata rispetto a k naturally):
$ kf''+2f'=kf $
posto $ g=kf $ si ha $ g'= f+kf'$ et $ g''=2f'+kf'' $ l'equazione precedente diventa:
$ g''=g $ e questa e' un'equazione ben nota e perfettamente risolvibile!!!
) affinche' diventi una ben nota:$ k=1/x $ quindi $ dx=-1/k^2dk $; calcolando la derivata seconda
$ d/dx((df)/dx)= -k^2d/(dk)(-k^2(df)/(dk))=-k^2(-2k(df)/(dk)-k^2(d^2f)/(dk))=k^4(d^2f)/(dk)+2k^3((df)/(dk)) $
cosi' l'equazione iniziale diventa dopo aver semplificato per $ k^3 $ ( ' indica derivata rispetto a k naturally):
$ kf''+2f'=kf $
posto $ g=kf $ si ha $ g'= f+kf'$ et $ g''=2f'+kf'' $ l'equazione precedente diventa:
$ g''=g $ e questa e' un'equazione ben nota e perfettamente risolvibile!!!
L'assenza di risposta mi lascia il dubbio che tutti abbiano capito o nessuno abbia capito , cosi' completo il calcolo:
$ g(k)=alphae^k+betae^(-k) $
$ f(k)=g(k)/k=1/k(alphae^k+betae^(-k)) $
$ f(x)=x(alphae^(1/x)+betae^(-1/x)) $
, cosi' completo il calcolo:$ g(k)=alphae^k+betae^(-k) $
$ f(k)=g(k)/k=1/k(alphae^k+betae^(-k)) $
$ f(x)=x(alphae^(1/x)+betae^(-1/x)) $
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