Trovare insieme di convergenza di un integrale

[zuzu1-votailprof]

Il quesito e' trovare l'insieme di tutti i valori "ALFA" (appartenente ad R) per i quali l'integrale sia convergente.
Non riesco a capire il modo in cui va svolto l'integrale, neppure utilizzando infinitesimi equivalenti..
Qualsiasi aiuto è ben gradito, grazie a tutti voi!!!

[carlo232]

"zuzu":

Il quesito e' trovare l'insieme di tutti i valori "ALFA" (appartenente ad R) per i quali l'integrale sia convergente.
Non riesco a capire il modo in cui va svolto l'integrale, neppure utilizzando infinitesimi equivalenti..
Qualsiasi aiuto è ben gradito, grazie a tutti voi!!!

Sostituiamo $x=t/(ln(5))$ e $dx=1/(ln(5))dt$

$int_0^infty x^alpha 5^(-x) dx =1/(ln^(alpha+1)(5)) int_0^infty t^alpha e^(-t) dt$

e l'integrale a destra è piuttosto famoso...

[Kroldar]

possiamo estendere la funzione integranda a $RR$ semplicemente considerandola nulla per valori negativi... è facile verificare che la funzione così ottenuta è infinitesima a $-oo$ e a $+oo$ di ordine infinitamente grande e con essa anche tutte le sue derivate. una tale funzione è detta "a decrescenza rapida" e lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida è incluso in $L^1(RR)$. ho un dubbio in merito... per $alpha in NN$ quell'integrale restituisce il fattoriale di $alpha$ a meno di un termine costante (come ha giustamente fatto notare carlo)... ma per $alpha$ razionale o reale come si determina il valore esatto dell'integrale? l'operazione di fattoriale è definita solo su $NN$?
un'altra cosa... come si scrive la $S$ corsiva che denota lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida?

[carlo232]

Possiamo trovare il valore della gamma di Eulero anche per numeri razionali.

$Gamma(1/2)=int_0^infty x^(-1/2) e^(-x) dx =2 int_0^infty e^(-x^2) dx =sqrt(pi)$

dove al penultimo membro abbiamo il celeberrimo integrale di Gauss.

[zuzu1-votailprof]

Ma non riesco a intuire la soluzione dell'esercizio, che dovrebbe essere ALFA > -1

Qualcuno gentilmente può spiegarmi i passaggi mancanti..?
Grazie 1000