Trovare il seguente limite:
Ragazzi non credo che già ve l'abbia proposto, comunque per
\[
\lim_{x \to + \infty} \frac{\cos (3/x) - e^{- 9/(2x^2)}}{[\arctan (5/x) + 2/x^2]^4}
\]
Ragazzi questo limite sono due giorni che non riesco a risolverlo, qualcuno mi può dare una bella dritta per favore?
Il numeratore deve essere sviluppato fino a n= 4 giusto?
[xdom="gugo82"]Primo ed ultimo avvertimento: impara a formattare bene le formule.[/xdom]
\[
\lim_{x \to + \infty} \frac{\cos (3/x) - e^{- 9/(2x^2)}}{[\arctan (5/x) + 2/x^2]^4}
\]
Ragazzi questo limite sono due giorni che non riesco a risolverlo, qualcuno mi può dare una bella dritta per favore?
Il numeratore deve essere sviluppato fino a n= 4 giusto?
[xdom="gugo82"]Primo ed ultimo avvertimento: impara a formattare bene le formule.[/xdom]
Risposte
A numeratore la parole d'ordine è Taylor, come hai già capito... Sviluppa finché non ottieni "potenze utili"...
Per il denominatore... Direi che puoi trascurare $2/x^2$ perché $arctan(5/x) sim 5/x$ per $x -> +oo$ è un infinitesimo di ordine inferiore.
Per il denominatore... Direi che puoi trascurare $2/x^2$ perché $arctan(5/x) sim 5/x$ per $x -> +oo$ è un infinitesimo di ordine inferiore.
Esatto molto spesso mi dimentico di fare queste considerazioni. AL denominatore tu hai semplicemente detto che
\(\displaystyle \frac{2}{x^2} = o ((\frac{5}{x})) \) essendo il loro rapporto nullo, per questo può non essere preso in considerazione. Ergo abbiamo
\(\displaystyle \frac{5}{x^4} + o(\frac{1}{x^4})\) al denominatore.
Ora provo ad andare avanti
\(\displaystyle \frac{2}{x^2} = o ((\frac{5}{x})) \) essendo il loro rapporto nullo, per questo può non essere preso in considerazione. Ergo abbiamo
\(\displaystyle \frac{5}{x^4} + o(\frac{1}{x^4})\) al denominatore.
Ora provo ad andare avanti
Il numeratore viene:
\(\displaystyle 1 - \frac{9}{2x^2} + \frac{27}{8x^4} + o(\frac{1}{x^4}) - 1 + \frac{9}{x^4} - \frac{81}{8x^4} + o(\frac{1}{x^4}) \)
Ovvero posto \(\displaystyle y= \frac{1}{x} \) (l'ho visto fare da te)
\(\displaystyle \frac{\frac{27}{4x^4} + o(\frac{1}{x^4})}{\frac{5}{x^4} + o(\frac{1}{x^4}) } = \) \(\displaystyle \frac{\frac{27y^4}{4} + o(y^4)}{5y^4 + o(y^4)} = \frac{27}{20} ? \)
Grazie
\(\displaystyle 1 - \frac{9}{2x^2} + \frac{27}{8x^4} + o(\frac{1}{x^4}) - 1 + \frac{9}{x^4} - \frac{81}{8x^4} + o(\frac{1}{x^4}) \)
Ovvero posto \(\displaystyle y= \frac{1}{x} \) (l'ho visto fare da te)
\(\displaystyle \frac{\frac{27}{4x^4} + o(\frac{1}{x^4})}{\frac{5}{x^4} + o(\frac{1}{x^4}) } = \) \(\displaystyle \frac{\frac{27y^4}{4} + o(y^4)}{5y^4 + o(y^4)} = \frac{27}{20} ? \)
Grazie
è giusto?
Formattare in che senso?
[xdom="gugo82"]Nel senso di imparare ad usare il MathJax per inserire correttamente le formule.
Dopo 30 post è obbligatorio (cfr. regolamento, 3.6b), quindi per te è imperativo.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Nel senso di imparare ad usare il MathJax per inserire correttamente le formule.
Dopo 30 post è obbligatorio (cfr. regolamento, 3.6b), quindi per te è imperativo.[/xdom]
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