Trovare il massimo di una funzione in più variabili
Salve a tutti, vi scrivo perché mi sono un pò incasinata con un problemino e se c'è qualche anima buona che può dare un occhio mi farebbe un favore.
Il problema è il seguente:
Se x,y,z sono numeri positivi tali che x+3y+4z=108 calcolare l'unico valore massimo possibile del prodotto P=xyz. (Suggerimento: Rendere P una funzione di y e z eliminando la variabile x). Interpretazione economica: xyz è l'utilità che deriva ad un individuo dal consumo di x, y e z unità, rispettivamente, di tre beni. I prezzi unitari dei tre beni sono 1,3 e 4; il reddito è 108. Quindi x,y,z devono essere maggiori di 0.
Io sono arrivata a questo punto:
Scrivendo x in funzione di y e z (x=108-3y-4z) e poi cercando i punti stazionari della funzioneP=108yz-3y^2z-4yz^2 ho trovato come unico punto stazionario accettabile y=12, z=9, x=36(non sono sicura dei calcoli)
. Ora però dovendo capire se si tratta di un massimo o un minimo mi sono calcolata le derivate seconde e ho trovato che la derivata seconda di P rispetto a y è-6z(che è un numero negativo dal momento che z deve essere maggiore di zero) mentre la derivata seconda di P rispetto a z è -8y (che è un numero negativo dal momento che y deve essere maggiore di zero), infine la derivata mista di P risulta essere 108-6y-8z. Quando mi calcolo il prodotto delle derivate pure meno il quadrato della derivata mista (quindi 48yz-(108-6y-8z)^2) non riesco a capire se sia maggiore o minore di zero e quindi non riesco a stabilire se y=12, z=9, x=36 è un punto di massimo o di minimo.
Grazie per l'attenzione.
Il problema è il seguente:
Se x,y,z sono numeri positivi tali che x+3y+4z=108 calcolare l'unico valore massimo possibile del prodotto P=xyz. (Suggerimento: Rendere P una funzione di y e z eliminando la variabile x). Interpretazione economica: xyz è l'utilità che deriva ad un individuo dal consumo di x, y e z unità, rispettivamente, di tre beni. I prezzi unitari dei tre beni sono 1,3 e 4; il reddito è 108. Quindi x,y,z devono essere maggiori di 0.
Io sono arrivata a questo punto:
Scrivendo x in funzione di y e z (x=108-3y-4z) e poi cercando i punti stazionari della funzioneP=108yz-3y^2z-4yz^2 ho trovato come unico punto stazionario accettabile y=12, z=9, x=36(non sono sicura dei calcoli)
. Ora però dovendo capire se si tratta di un massimo o un minimo mi sono calcolata le derivate seconde e ho trovato che la derivata seconda di P rispetto a y è-6z(che è un numero negativo dal momento che z deve essere maggiore di zero) mentre la derivata seconda di P rispetto a z è -8y (che è un numero negativo dal momento che y deve essere maggiore di zero), infine la derivata mista di P risulta essere 108-6y-8z. Quando mi calcolo il prodotto delle derivate pure meno il quadrato della derivata mista (quindi 48yz-(108-6y-8z)^2) non riesco a capire se sia maggiore o minore di zero e quindi non riesco a stabilire se y=12, z=9, x=36 è un punto di massimo o di minimo. Grazie per l'attenzione.
Risposte
Tolto che il testo ti dice espressamente che quel punto è di massimo.
Ho controllato i tuoi risultati e mi sembrano corretti.
Per la verifica della natura del punto stazionario se scegli di usare la matrice Hessiana devi sostituire i valori nella forma generale e sperare il determinante non si annulli come in questo caso. Risulta essere $3888>0$ con la derivata seconda di y <0 quindi massimo. Oppure interpretarla come prodotti e applicare Weierstrass al compatto.
Ricorda che in generale non puoi studiare la natura del punto riducendo la funzione al vincolo, come nel caso di una disequazione in cui devi considerare anche i punti interni, ma penso che nel caso di un ugualianza il sistema non dia problemi.
Per maggiore sicurezza potresti applicare i moltiplicatori di Lagrange...
Ho controllato i tuoi risultati e mi sembrano corretti.
Per la verifica della natura del punto stazionario se scegli di usare la matrice Hessiana devi sostituire i valori nella forma generale e sperare il determinante non si annulli come in questo caso. Risulta essere $3888>0$ con la derivata seconda di y <0 quindi massimo. Oppure interpretarla come prodotti e applicare Weierstrass al compatto.
Ricorda che in generale non puoi studiare la natura del punto riducendo la funzione al vincolo, come nel caso di una disequazione in cui devi considerare anche i punti interni, ma penso che nel caso di un ugualianza il sistema non dia problemi.
Per maggiore sicurezza potresti applicare i moltiplicatori di Lagrange...
Grazie mille per l' esaustiva risposta!
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