Trovare i punti singolari
salve a tutti devo trovare i punti singolari di questa funzione:
$cosh(z)/cosh(2z)$
Sono all'inizio dello studio della analisi complessa e probabilmente ho capito male come fare lo studio delle singolarità...
Avevo in mente di trovare i punti singolari come si trovano i punti che nn rientrano nel dominio nel caso di funzioni di variabile reale....quindi ho posto $cosh(2z)=0$ ma nn esistono z che annullano il coseno iperbolico...invece dalle soluzioni vedo che sono $z=i(\pi/4+h(\pi/2))$...Quindi nel frattempo vorrei chiedervi anche se potete spiegarmi meglio come trovare i punti singolari di una funzione complessa di variabile complessa nella pratica...
Ciao e grazie a chiunque mi risponderà....
$cosh(z)/cosh(2z)$
Sono all'inizio dello studio della analisi complessa e probabilmente ho capito male come fare lo studio delle singolarità...
Avevo in mente di trovare i punti singolari come si trovano i punti che nn rientrano nel dominio nel caso di funzioni di variabile reale....quindi ho posto $cosh(2z)=0$ ma nn esistono z che annullano il coseno iperbolico...invece dalle soluzioni vedo che sono $z=i(\pi/4+h(\pi/2))$...Quindi nel frattempo vorrei chiedervi anche se potete spiegarmi meglio come trovare i punti singolari di una funzione complessa di variabile complessa nella pratica...
Ciao e grazie a chiunque mi risponderà....
Risposte
"Process_Killer":
i punti singolari [...] si trovano [come] nel caso di funzioni di variabile reale....quindi ho posto $cosh(2z)=0$
Certo, hai fatto una cosa buona e giusta.
"Process_Killer":
ma nn esistono z che annullano il coseno iperbolico...
Ciò è vero nel campo reale, ma non in quello complesso.
Per trovare gli zeri del [tex]\cosh 2z[/tex] devi risolvere in [tex]\mathbb{C}[/tex] l'equazione [tex]e^{2z}+e^{-2z}=0[/tex] che equivale a [tex]e^{4z}+1=0[/tex] (che è un'equazione di secondo grado in [tex]\zeta=e^{2z}[/tex])...
Continua tu e ricorda che 1) l'esponenziale in campo complesso è una funzione periodica e 2) la formula di Eulero per [tex]e^{x+\jmath y}[/tex].
$a=e^(2z)$
$a^2+1=0$
$a=+i$ e $a=-i$
$e^(2z)=i$ ed $e^(2z)=-i$
$e^(2x)(cos2y+isen2y)=i$ e $e^(2x)(cos2y+isen2y)=-i$
$e^(2x)cos2y=0$ per entrambe.....da cui segue $x=0$ e $y=\pi/4+h(\pi/2)$
per la 1°:
$e^(2x)isen2y=i$ da cui segue $e^(2x)sen2y=1$ da cui segue $x=0$ e $y=\pi/4+h(\pi/2)$
per la 2°:
$e^(2x)isen2y=-i$ da cui segue $e^(2x)sen2y=-1$ da cui segue $x=0$ e $y=-\pi/4+h(\pi/2)$(che alla fine è andare in senso orario)
quindi$ z=x+iy=i(\pi/4+h \pi/2)$
esatto?
$a^2+1=0$
$a=+i$ e $a=-i$
$e^(2z)=i$ ed $e^(2z)=-i$
$e^(2x)(cos2y+isen2y)=i$ e $e^(2x)(cos2y+isen2y)=-i$
$e^(2x)cos2y=0$ per entrambe.....da cui segue $x=0$ e $y=\pi/4+h(\pi/2)$
per la 1°:
$e^(2x)isen2y=i$ da cui segue $e^(2x)sen2y=1$ da cui segue $x=0$ e $y=\pi/4+h(\pi/2)$
per la 2°:
$e^(2x)isen2y=-i$ da cui segue $e^(2x)sen2y=-1$ da cui segue $x=0$ e $y=-\pi/4+h(\pi/2)$(che alla fine è andare in senso orario)
quindi$ z=x+iy=i(\pi/4+h \pi/2)$
esatto?
Certo.
Infatti gli zeri di [tex]\cosh \zeta[/tex] sono nei punti [tex](\frac{\pi}{2} + h\pi) \jmath[/tex] (con [tex]h\in \mathbb{Z}[/tex]) da cui, ponendo [tex]\zeta= 2z[/tex], si ricava esattamente [tex]z=(\frac{\pi}{4} +h\frac{\pi}{2})\jmath[/tex], come hai già determinato risolvendo esplicitamente l'equazione in [tex]e^{2z}[/tex].
Un'altra tecnica risolutiva prevede l'uso del logaritmo complesso: infatti da [tex]e^{4z}=-1[/tex] trai [tex]4z=\log (-1)[/tex] (ove [tex]\log[/tex] denota il logaritmo complesso di base [tex]e[/tex]); ricordando che per [tex]w\neq 0[/tex] si ha [tex]\log w =\ln |w|+(\text{Arg}(w) +2h\pi )\jmath[/tex] (qui [tex]h\in \mathbb{Z}[/tex], [tex]\ln[/tex] denota il logaritmo reale di base [tex]e[/tex] ed [tex]\text{Arg}(w)[/tex] è l'argomento principale di [tex]w[/tex], ossia quello in [tex]]-\pi ,\pi][/tex]), in questo caso si ha:
[tex]w=-1 \Rightarrow |w|=1 \text{ e } \text{Arg}(w)=\pi[/tex]
quindi [tex]4z=\ln (1) +(\pi +2h\pi)\jmath[/tex] ed infine [tex]z= (\frac{\pi}{4} +h\frac{\pi}{2})\jmath[/tex]...
Come dicono in Mozambico: Tutte le strade portano a Roma.
Infatti gli zeri di [tex]\cosh \zeta[/tex] sono nei punti [tex](\frac{\pi}{2} + h\pi) \jmath[/tex] (con [tex]h\in \mathbb{Z}[/tex]) da cui, ponendo [tex]\zeta= 2z[/tex], si ricava esattamente [tex]z=(\frac{\pi}{4} +h\frac{\pi}{2})\jmath[/tex], come hai già determinato risolvendo esplicitamente l'equazione in [tex]e^{2z}[/tex].
Un'altra tecnica risolutiva prevede l'uso del logaritmo complesso: infatti da [tex]e^{4z}=-1[/tex] trai [tex]4z=\log (-1)[/tex] (ove [tex]\log[/tex] denota il logaritmo complesso di base [tex]e[/tex]); ricordando che per [tex]w\neq 0[/tex] si ha [tex]\log w =\ln |w|+(\text{Arg}(w) +2h\pi )\jmath[/tex] (qui [tex]h\in \mathbb{Z}[/tex], [tex]\ln[/tex] denota il logaritmo reale di base [tex]e[/tex] ed [tex]\text{Arg}(w)[/tex] è l'argomento principale di [tex]w[/tex], ossia quello in [tex]]-\pi ,\pi][/tex]), in questo caso si ha:
[tex]w=-1 \Rightarrow |w|=1 \text{ e } \text{Arg}(w)=\pi[/tex]
quindi [tex]4z=\ln (1) +(\pi +2h\pi)\jmath[/tex] ed infine [tex]z= (\frac{\pi}{4} +h\frac{\pi}{2})\jmath[/tex]...
Come dicono in Mozambico: Tutte le strade portano a Roma.
grazie ancora
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