Trovare i punti critici di una funzione a 2 variabili
Ciao a tutti questo è il mio primo post qui!!
allora sto facendo degli esercizi per trovare i punti critici di funzioni a piu' variabili per poi classificarli.
allora questo è il procedimento che faccio:
allora la mia domanda è:
è giusto il procedimento?
poi mi incarto per trovare i punti critici (punto 3): c'è un metodo per trovare le x e le y che annullano le derivate prime??
0) data la funzione f(x,y)
1) faccio la derivata prima con variabile x
2) faccio la derivata prima con variabile y
3) faccio il sistema e trovo tutti i punti critici in cui si annullano tutte e due le derivate prime
4) derivate seconda variabile xx
5) derivate seconda variabile xy
6) derivate seconda variabile yx
7) derivate seconda variabile yy
8) costruisco la matrice hessiana con le derivate seconde:
fxx,fxy
fyx,fyy
9) sostituisco nella matrice hessiana le coppie di (x,y) dei punti critici che ho trovato
10) faccio il determinante di ogni matrice e vedo se :
a) det =0 nulla si puo' dire
b) det <0 è un punto di sella
b) det >0 Punto di massimo se f'xx è >0 OPPURE Punto di minimo se f'xx è<0
grazie mille per le eventuali risposte!!!
allora sto facendo degli esercizi per trovare i punti critici di funzioni a piu' variabili per poi classificarli.
allora questo è il procedimento che faccio:
allora la mia domanda è:
è giusto il procedimento?
poi mi incarto per trovare i punti critici (punto 3): c'è un metodo per trovare le x e le y che annullano le derivate prime??
0) data la funzione f(x,y)
1) faccio la derivata prima con variabile x
2) faccio la derivata prima con variabile y
3) faccio il sistema e trovo tutti i punti critici in cui si annullano tutte e due le derivate prime
4) derivate seconda variabile xx
5) derivate seconda variabile xy
6) derivate seconda variabile yx
7) derivate seconda variabile yy
8) costruisco la matrice hessiana con le derivate seconde:
fxx,fxy
fyx,fyy
9) sostituisco nella matrice hessiana le coppie di (x,y) dei punti critici che ho trovato
10) faccio il determinante di ogni matrice e vedo se :
a) det =0 nulla si puo' dire
b) det <0 è un punto di sella
b) det >0 Punto di massimo se f'xx è >0 OPPURE Punto di minimo se f'xx è<0
grazie mille per le eventuali risposte!!!
Risposte
Il procedimento mi sembra corretto. Puoi saltare il p.to 6) se è valido il teorema di Schwarz. Per trovare i p.ti critici $(x,y)$ basta che risolvi il sistema che ottiene ponedo le derivate prime uguali a zero, come hai scritto al p.to 3).
grazie per la risposta!! e la velocità!!
stavo ad esempio provando questo esercizio:
non riesco a trovare tutti i punti critici (il punto 3 diciamo) mi potresti dare una dritta??
eccolo qui:
x^2 - 2y^2 (x^2-1) - y^4
allora:
la f'x è 2x - 4xy^2
la f'y è -4x^2 y + 4 y - 4 y^3
vabbe' posso semplificare..
f'x = x - 2xy^2
f'y = -x^2 y+ y - y^3
ora pero' nn so come muovermi!!
ancora grazie mille!
stavo ad esempio provando questo esercizio:
non riesco a trovare tutti i punti critici (il punto 3 diciamo) mi potresti dare una dritta??
eccolo qui:
x^2 - 2y^2 (x^2-1) - y^4
allora:
la f'x è 2x - 4xy^2
la f'y è -4x^2 y + 4 y - 4 y^3
vabbe' posso semplificare..
f'x = x - 2xy^2
f'y = -x^2 y+ y - y^3
ora pero' nn so come muovermi!!
ancora grazie mille!
"roccolo":
grazie per la risposta!! e la velocità!!
stavo ad esempio provando questo esercizio:
non riesco a trovare tutti i punti critici (il punto 3 diciamo) mi potresti dare una dritta??
eccolo qui:
x^2 - 2y^2 (x^2-1) - y^4
allora:
la f'x è 2x - 4xy^2
la f'y è -4x^2 y + 4 y - 4 y^3
vabbe' posso semplificare..
f'x = x - 2xy^2
f'y = -x^2 y+ y - y^3
ora pero' nn so come muovermi!!
ancora grazie mille!
fai in questo modo :
$f_x = x(1-2y^2)$
$f_y = y(-x^2+1-y^2)$
le metti a sistema e vedi dove si annullano
Hai da risolvere il sistema
$x(1-2y^2)=0 $
$ -y(x^2+y^2-1) =0 $
Dalla prima equazione ottieni i valori $ x=0 ; y= +-1/sqrt(2)$
Dalla seconda....
Devi trovare i valori di $ x $ e di $y $ per cui si annullano entrambe le derivate : questi saranno i punti critici da esaminare.
[mod="Camillo"]Per rendere leggibili le formule segui le istruzioni qui
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html[/mod]
$x(1-2y^2)=0 $
$ -y(x^2+y^2-1) =0 $
Dalla prima equazione ottieni i valori $ x=0 ; y= +-1/sqrt(2)$
Dalla seconda....
Devi trovare i valori di $ x $ e di $y $ per cui si annullano entrambe le derivate : questi saranno i punti critici da esaminare.
[mod="Camillo"]Per rendere leggibili le formule segui le istruzioni qui
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html[/mod]
grazie mille!!!
quante risposte!!
allora ecco come procedo con la derivata fx:
$-y(x^2+y^2-1)=0$
che ha come soluzione:
$y=0$ e la x (per la x prendo i valori che potrebbe assumere qui sotto cioè $+-1$ e $0$??)
poi da $x^2+y^2=1$ ricavo due punti critici:
$x=+-1 ;y=0$
$x=0 ; y=+-1$
A questo punto procedo con la derivata fy :
$x(1-2y^2)$
che ha come soluzione:
$x=0$ (di nuovo la y quindi assume i valori qui sotto $+-1/sqrt(2)$ oppure i valori dell'altra derivata quando la $x =0$ e quindi $+-1$??)
e da $(1-2y^2)$ ricavo:
$y=+-1/sqrt(2)$
quindi il punto trovato è
$x=0 y=+-/sqrt(2)$ giusto??
Quindi i punti critici che ho trovato dalla prima derivata cioè da $-y(x^2+y^2-1)=0$ sono:
p1 : $x=+1; y=0$
p2 : $x=-1; y=0$
p3 : $x=0; y=0$
dalla derivata $(x^2+y^2-1)=0$ sono:
p4 : $x=+1 ;y=0$
p6 : $x=-1 ;y=0$
p7 : $x=0 ; y=+1$
p8 : $x=0 ; y=-1$
quindi sono adesso sono 5 punti (poiche' $p1 = p4$ e $p2 = p6$) dalla prima derivata.
poi dalla seconda cioè da $x(1-2y^2)$:
p9 : $x=0 ;y=+1/sqrt(2)$
p10:$x=0 ;y=-1/sqrt(2)$
alla fine quindi i punti sono in totale 7.
credo che sia qui che faccio confusione, cmq grazie ancora!!
quante risposte!!
allora ecco come procedo con la derivata fx:
$-y(x^2+y^2-1)=0$
che ha come soluzione:
$y=0$ e la x (per la x prendo i valori che potrebbe assumere qui sotto cioè $+-1$ e $0$??)
poi da $x^2+y^2=1$ ricavo due punti critici:
$x=+-1 ;y=0$
$x=0 ; y=+-1$
A questo punto procedo con la derivata fy :
$x(1-2y^2)$
che ha come soluzione:
$x=0$ (di nuovo la y quindi assume i valori qui sotto $+-1/sqrt(2)$ oppure i valori dell'altra derivata quando la $x =0$ e quindi $+-1$??)
e da $(1-2y^2)$ ricavo:
$y=+-1/sqrt(2)$
quindi il punto trovato è
$x=0 y=+-/sqrt(2)$ giusto??
Quindi i punti critici che ho trovato dalla prima derivata cioè da $-y(x^2+y^2-1)=0$ sono:
p1 : $x=+1; y=0$
p2 : $x=-1; y=0$
p3 : $x=0; y=0$
dalla derivata $(x^2+y^2-1)=0$ sono:
p4 : $x=+1 ;y=0$
p6 : $x=-1 ;y=0$
p7 : $x=0 ; y=+1$
p8 : $x=0 ; y=-1$
quindi sono adesso sono 5 punti (poiche' $p1 = p4$ e $p2 = p6$) dalla prima derivata.
poi dalla seconda cioè da $x(1-2y^2)$:
p9 : $x=0 ;y=+1/sqrt(2)$
p10:$x=0 ;y=-1/sqrt(2)$
alla fine quindi i punti sono in totale 7.
credo che sia qui che faccio confusione, cmq grazie ancora!!
I punti critici sono
$ x=0, y=0 ; x=0,y=1 ; x=0,y =-1 $
$x=1/(sqrt(2)) , y = 1/(sqrt(2)) $
$ x=1/(sqrt(2)) , y= -1/(sqrt(2)) $
$ x=-1/(sqrt(2)) , y=1/(sqrt(2)) ;$
$ x=-1/(sqrt(2)) , y=-1/(sqrt(2)) $
$ x=0, y=0 ; x=0,y=1 ; x=0,y =-1 $
$x=1/(sqrt(2)) , y = 1/(sqrt(2)) $
$ x=1/(sqrt(2)) , y= -1/(sqrt(2)) $
$ x=-1/(sqrt(2)) , y=1/(sqrt(2)) ;$
$ x=-1/(sqrt(2)) , y=-1/(sqrt(2)) $
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