Trovare i maggioranti di una funzione in due variabili

[Zelda89]

Buongiorno a tutti. Ho da svolgere questo esercizio:

1. Si provi che esiste una costante $C>0$ tale che
$ab \leq C(a^3+b^(3/2))$ con $a,b \geq 0$[/list:u:1by3vfca]

2. Si trovino due costanti diverse $C_1, C_2>0$ che, sostituite al postao di C, rendono vera la disuguaglianza sopra.[/list:u:1by3vfca]

3. Si trovi esplicitamente, se esiste, il minimo delle costanti C>0 che rendono vera la disuguaglianza.[/list:u:1by3vfca]

La disuguaglianza può essere riscritta come
$C \geq (ab)/(a^3+b^(3/2))$
Ho pensato, come approccio iniziale, di provare a trovare un massimo della funzione $f(a,b)=(ab)/(a^3+b^(3/2))$, ma non riesco nemmeno a trovare i punti stazionari (sistema indeterminato). Ho pensato anche a un teorema di esistenza del massimo, visto che la funzione è continua (tranne che in $(0,0)$ ove si vede valere la disuguaglianza), ma questo ragionamento non mi aiuterebbe a svolgere i punti 2 e 3.
Qualche suggerimento illuminante?
Grazie

[bosmer-votailprof]

"Zelda89":
Ho pensato, come approccio iniziale, di provare a trovare un massimo della funzione $f(a,b)=(ab)/(a^3+b^(3/2))$, ma non riesco nemmeno a trovare i punti stazionari (sistema indeterminato).
Grazie

Ma non è vero, viene che i punti critici della funzione sono infiniti e precisamente $$a=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[3]{2}}$$ ...

[pilloeffe]

Ciao Zelda89,

Non so se può tornarti utile, ma guardando quella disuguaglianza mi è venuta in mente la disuguaglianza $GM <= AM $ ($GM$ media geometrica, $AM$ media aritmetica):

$\sqrt{xy} <= \frac{x + y}{2} $

Posto $x := a^3 > 0 $ e $y = b^{3/2} > 0 $ si ottiene:

$a^{3/2}b^{3/4} <= \frac{a^3 + b^{3/2}}{2} $

e $a^{3/2}b^{3/4} >= ab $ se $0 < b <= a^2 $

Quindi in definitiva si ha $ab <= \frac{a^3 + b^{3/2}}{2} $ con $a > 0 $ e $ 0 < b <= a^2 $

[Zelda89]

Grazie infinite per la dritta! Così funziona
Buona giornata