Trovare e studiare i punti stazionari della funzione
Buongiorno a tutti. Mi trovo a studiare i punti stazionari di questa funzione
$f(x,y)=e^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)$
ma il fatto è che non sono sicuro di pensarla giusta su come svolgerlo; dalle soluzioni so che ha 6 punti stazionari. Io non so se posso considerare solo $(x^4+y^3-4x^2-3y^2)$ o devo considerare per intero tutta la funzione, dato che se dovessi considerare tutta la funzione, la derivata prima rispetto a x e a y diventerebbero delle funzioni mostruose da poi mettere a sistema per trovare i punti stazionari, e il fatto mi spaventerebbe un pò
Mi potreste delucidare un pò su sto fatto?
$f(x,y)=e^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)$
ma il fatto è che non sono sicuro di pensarla giusta su come svolgerlo; dalle soluzioni so che ha 6 punti stazionari. Io non so se posso considerare solo $(x^4+y^3-4x^2-3y^2)$ o devo considerare per intero tutta la funzione, dato che se dovessi considerare tutta la funzione, la derivata prima rispetto a x e a y diventerebbero delle funzioni mostruose da poi mettere a sistema per trovare i punti stazionari, e il fatto mi spaventerebbe un pò
Mi potreste delucidare un pò su sto fatto?
Risposte
le derivate non mi sembrano complicate, perché l'esponente non presenta termini misti, quindi il sistema è facilmente risolvibile perché costituito da due equazioni binomie "indipendenti", una contenente solo la x ed una contenente solo la y (l'esponenziale non si annulla mai!).
dovresti ottenere ${x=0vv+-sqrt2, y=0vv2}$, dunque i sei punti stazionari ...
una cosa che mi ha colpito subito, è che sarebbe da considerare tra i casi particolari ${x " fissato, finito, "y->-oo}$, ma questa è una cosa in più.
dovresti ottenere ${x=0vv+-sqrt2, y=0vv2}$, dunque i sei punti stazionari ...
una cosa che mi ha colpito subito, è che sarebbe da considerare tra i casi particolari ${x " fissato, finito, "y->-oo}$, ma questa è una cosa in più.
Quindi se ho capito bene, faccio il gradiente di $f(x,y)=e^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)$ che sarà uguale a $fx=e^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)*4x^3-8x$ e $fy=e^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)*3y^2-6y$ e dopodichè dovrò metterli a sistema per trovare i punti stazionari. Ma dai valori di $e^(....)$ come faccio a ricavarmi $x$ e $y$? E' questo che nn ho ben capito, e poi nn sono tanto sicuro sul gradiente...
Non vorrei dire stupidaggini insensate, ma credo che le soluzioni di un'equazione del tipo $a_nx^n+a_{n-1}x^(n-1)+...+a_1x+a_0=0$ (insomma, la classica equazione polinomiale) siano le stesse di $"e"^"qualsiasi cosa non fratta"(a_nx^n+a_{n-1}x^(n-1)+...+a_1x+a_0)=0$ (scusate il linguaggio poco preciso, ho sacrificato il rigore per fini didattici).
In effetti, se ci pensi la funzione esponenziale $e^"qualcosa"$ non si annulla mai, per cui puoi dividere i due membri della seconda equazione che ho scritto io sopra. Bada bene: occhio nel caso in cui l'esponente fosse frazionario: dovresti poi ricontrollare alla fine se i valori che hai trovato come soluzioni annullano il denominatore dell'esponente.
Per concludere, credo che le soluzioni di (ad esempio) $\frac{\partialf}{\partialx} = (4x^3-8x) e^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)=0$ [occhio alle parentesi!] siano le stesse di $4x^3-8x=0$ (che infatti ti danno i valori suggeriti dalla grande Ada).
Idem con la derivata parziale rispetto a $y$.
Nella speranza di esserti stato utile e di non aver detto fesserie ti saluto.
Ciao.
Se hai bisogno siamo qui.
Paolo
In effetti, se ci pensi la funzione esponenziale $e^"qualcosa"$ non si annulla mai, per cui puoi dividere i due membri della seconda equazione che ho scritto io sopra. Bada bene: occhio nel caso in cui l'esponente fosse frazionario: dovresti poi ricontrollare alla fine se i valori che hai trovato come soluzioni annullano il denominatore dell'esponente.
Per concludere, credo che le soluzioni di (ad esempio) $\frac{\partialf}{\partialx} = (4x^3-8x) e^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)=0$ [occhio alle parentesi!] siano le stesse di $4x^3-8x=0$ (che infatti ti danno i valori suggeriti dalla grande Ada).
Idem con la derivata parziale rispetto a $y$.
Nella speranza di esserti stato utile e di non aver detto fesserie ti saluto.
Ciao.
Se hai bisogno siamo qui.
Paolo
"adaBTTLS":
le derivate non mi sembrano complicate, perché l'esponente non presenta termini misti, quindi il sistema è facilmente risolvibile perché costituito da due equazioni binomie "indipendenti", una contenente solo la x ed una contenente solo la y (l'esponenziale non si annulla mai!).
dovresti ottenere ${x=0vv+-sqrt2, y=0vv2}$, dunque i sei punti stazionari ...
una cosa che mi ha colpito subito, è che sarebbe da considerare tra i casi particolari ${x " fissato, finito, "y->-oo}$, ma questa è una cosa in più.
Paolo90 ti ha ribadito appunto che l'esponenziale è ben definito per ogni $(x,y) in RR^2$ e non si annulla mai. quindi i punti stazionari si trovano facilmente.
sui valori dell'esponente ti ho solo dato un input, perché, non considerando il gradiente ma solo la funzione, questa è sempre positiva, e tende a zero solo in quel caso particolare.
spero sia chiaro. ciao.
Ok, grazie mille a tutti e due. Ieri in serata ho provato a fare l'esercizio con i vostri suggerimenti e mi è venuto perfettamente. Era proprio il fatto di poter solo considerare la parte esponenziale o no dell'$e$ che mi bloccava un pò per fare poi il sistema tra il gradiente e trovare i punti stazionari.
Grazie.
Fabio
Grazie.
Fabio
prego!
Figurati, è stato un piacere.
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