Trovare due punti in modo che il triangolo formato dall’asse x e dalle tangenti in P e Q sia equilatero.
Buongiorno,
vi sottopongo questo problema:
20) Trovare due punti P, Q sulla parabola $ y = 1 − x^2 $ in modo che il triangolo formato dall’asse x e dalle tangenti in P e Q sia equilatero.
Ho trovato che la funzione è positiva in $ |x|<=1 $ , ho calcolato $ y'=-2x $ e $ y'(1)=-2 $ , $ y'(-1)=2 $ .
Ho sostituito nell'equazione $ y-y0=y'(x0) (x-x0) $ il valore $ y'(-1)=2 $ ,
ottenendo $ y-0=2 (x-(+1)) $ => $ y=2x+2 $ .
Probabilmente è sbagliato.
Come sapreste risolverlo?
Grazie
vi sottopongo questo problema:
20) Trovare due punti P, Q sulla parabola $ y = 1 − x^2 $ in modo che il triangolo formato dall’asse x e dalle tangenti in P e Q sia equilatero.
Ho trovato che la funzione è positiva in $ |x|<=1 $ , ho calcolato $ y'=-2x $ e $ y'(1)=-2 $ , $ y'(-1)=2 $ .
Ho sostituito nell'equazione $ y-y0=y'(x0) (x-x0) $ il valore $ y'(-1)=2 $ ,
ottenendo $ y-0=2 (x-(+1)) $ => $ y=2x+2 $ .
Probabilmente è sbagliato.
Come sapreste risolverlo?
Grazie
Risposte
Io proverei così: so che il triangolo deve essere equilatero e quindi gli angoli devono misurare 60°. Allora le rette passanti per P e Q devono formare un angolo di 60° con l'asse delle ascisse; qual è il coefficiente angolare di queste rette?
Ho trovato che l'altezza dovrebbe essere $ sqrt(3)/2 * b $ , dove b è la base del triangolo equilatero (quindi se $ b=2x $ , si ha $ h=sqrt(3)/2 *2x = sqrt(3)*x $ ).
Che calcoli hai svolto per trovare quella altezza? Come ti può essere utile per trovare quei punti?
Facendo riferimento a questa immagine schematica, ho che $ h^2 = l^2 - (b/2)^2 $ per Pitagora.
Sto cercando di costruire un triangolo equilatero, quindi so che $ l = b $ .
$ h^2 = b^2 - (b/2)^2 = (4 * b^2 - b^2 )/4 = 3 * b^2 / 4 $
Quindi $ h = b * sqrt(3)/2 $
Ora, so che la base è il doppio di $ x $ , quindi $ b/2=x -> b=2x $
$ h = b * sqrt(3)/2 = 2x * sqrt(3)/2 = x * sqrt(3) $
Potrebbe essermi utile nel senso che so che la tangente deve intersecare l'asse y in funzione di $ sqrt(3) * x $.
Non riesco a trovare il punto in cui la tangente interseca l'asse y in quel punto in funzione di x.
Che ne pensi?
Mmh c'è un po' di confusione: trattare la $x$ in quella maniera non ti porta da nessuna parte. In più, dal disegno sembra che uno dei punti (e dunque per simmetria anche l'altro) giaccia sull'asse delle ascisse - e ci dice che sia così?
Prova a partire da quello che ti ho consigliato:
Prova a partire da quello che ti ho consigliato:
"Brancaleone":
so che il triangolo deve essere equilatero e quindi gli angoli devono misurare 60°. Allora le rette passanti per P e Q devono formare un angolo di 60° con l'asse delle ascisse; qual è il coefficiente angolare di queste rette?
Proprio non capisco come impostare il problema.
Forse una retta con pendenza +2 o -2 può formare un angolo di 60 gradi con l'asse delle ascisse... potresti darmi qualche dritta in più?
Grazie
Forse una retta con pendenza +2 o -2 può formare un angolo di 60 gradi con l'asse delle ascisse... potresti darmi qualche dritta in più?
Grazie
Ti serve solo l'ottimo suggerimento di Brancaleone e ricordare che $m=f'(x_0)$, nonché $m=tan theta$ dove $theta$ è l'angolo di inclinazione. Come ti è stato detto, l'angolo da richiedere per la prima retta (quella con coefficiente positivo per intenderci, supponiamo sia quella tangente in $P$) è $pi/3$. Ovviamente si suppone che uno si ricordi la tangente di $pi/3$ (io non me la ricordo 
).
A questo punto conosci $f'(x)=-2x$ e imponi l'uguaglianza per trovare $x_0$, e ti ricavi $y_0$ sostituendo nella parabola. Poi procedi allo stesso modo per il secondo punto, con l'ovvia considerazione sul coefficiente della retta.
).A questo punto conosci $f'(x)=-2x$ e imponi l'uguaglianza per trovare $x_0$, e ti ricavi $y_0$ sostituendo nella parabola. Poi procedi allo stesso modo per il secondo punto, con l'ovvia considerazione sul coefficiente della retta.
Allora: bisogna trovare questi due punti che a priori non sappiamo dove sono. La traccia afferma che si trovano sulla parabola, e che su ognuno di loro passa una retta tangente questa parabola in modo da formare con l'asse delle ascisse un triangolo equilatero. Perché ti ho chiesto di trovare il coefficiente angolare di quelle rette tangenti? Perché la derivata in un punto di una funzione (in questo caso la parabola) rappresenta proprio il coefficiente angolare della retta tangente quel punto. Quindi il coefficiente angolare delle rette che vanno a formare due dei lati del nostro triangolo corrispondono al coefficiente angolare di due generiche rette di cui nulla sappiamo se non che sono tangenti alla parabola e che formano con l'asse delle ascisse un angolo di 60°! Poiché sappiamo che il coefficiente angolare di una retta corrisponde alla funzione trigonometrica tangente di quell'angolo, abbiamo che - per due generiche rette di formula $y=mx+q$:
Ora che conosci la pendenza delle due tangenti, puoi porle uguali alla derivata della parabola per trovare l'ascissa di P e Q e, fatto ciò, inserire questi valori nella funzione della parabola per trovare l'ordinata di questi punti. E l'esercizio è finito.
$m_P=tan(60°)=sqrt3$
$m_Q=tan(-60°)=-sqrt3$
Ora che conosci la pendenza delle due tangenti, puoi porle uguali alla derivata della parabola per trovare l'ascissa di P e Q e, fatto ciò, inserire questi valori nella funzione della parabola per trovare l'ordinata di questi punti. E l'esercizio è finito.
Quindi pongo $ sqrt(3) = -2x $ e $ -sqrt(3) = -2x $ , ottenendo $ x = sqrt(3)/2 $ e $ x = -sqrt(3)/2 $ .
A questo punto li sostituisco nell'equazione iniziale $ y = 1 - x^2 $
ottenendo $ y = 1/4 $ in entrambi i punti.
I punti $ P $ e $ Q $ hanno coordinate $ P(-sqrt(3)/2 , 1/4) Q(sqrt(3)/2 , 1/4) $ ?
A questo punto li sostituisco nell'equazione iniziale $ y = 1 - x^2 $
ottenendo $ y = 1/4 $ in entrambi i punti.
I punti $ P $ e $ Q $ hanno coordinate $ P(-sqrt(3)/2 , 1/4) Q(sqrt(3)/2 , 1/4) $ ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo