Trovare classe di appartenenza di funzioni

[Folpo13]

Buongiorno su un foglio di esercizi di analisi 2 ho la seguente $f:\RR^2->\RR$
$f(x,y)=\{(\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} \text{ se } (x,y)!=(0,0)),(0 \text{ se } (x,y)=(0,0)):}$

Consegna:
i. Dire se la funzione è $C^1(\RR^2)$
ii. Dire se la funzione è $C^2(\RR^2)$

Ora, io saprei come fare: per vedere se è $C^1(\RR^2)$ calcolo le derivate parziali in 0 che è dove ho problemi, e calcolo il limite delle derivate parziali in 0, analogo per dimostrare che è $C^2(\RR^2)$ con le 4 derivate parziali del secondo ordine. Quello che volevo chiedermi è: esiste un metodo più furbo/veloce? Le derivate parziali diventano particolarmente massicce e diciamo che non sono un fan dei conti senza fine. Grazie mille

[Noodles1]

In coordinate polari:

$f(\rho,\varphi)=1/4\rho^2sin4\varphi$

la funzione è fin troppo "liscia".

[Folpo13]

"Noodles":In coordinate polari:

$f(\rho,\varphi)=1/4\rho^2sin4\varphi$

la funzione è fin troppo "liscia".

È legittimo semplificare il $\rho^2$ a denominatore senza pensarci troppo?

[Noodles1]

Dovresti porre:

$\rho ne 0$

Tuttavia, poichè, in coordinate cartesiane:

$f(0,0)=0$

la rappresentazione analitica della funzione in coordinate polari:

$f(\rho,\varphi)=1/4\rho^2sin4\varphi$

è valida anche nell'origine:

$f(0,\varphi)=0$