Trova l' errore limite con hospital e stime asintotiche
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo limite, o meglio, riesco a risolverlo
Mi spiego meglio:
Devo risolvere
$ lim_(x->1) ((1+lnx - e^(x-1))/((x-1)^2)) $ = $ lim_(x -> 1)((1/x- e^(x-1))/(2(x-1))) $ = $ lim_(x->1) ((-1/x^2 -e^(x-1))/2) $ = $ -2/2 $ = -1 soluzione ottenuta applicando due volte l' hospital
Ho capito questo svolgimento ma non riesco a capire perchè utilizzando il mio metodo non esce giusto l' esercizio:
$ lim_(x->1) ((1+lnx - e^(x-1))/((x-1)^2)) $ = $ lim_(t->0) (1+ln(t+1) -e^t)/t^2 $ = $ lim_(t->0)(1+t-e^t)/t^2=lim_(t->0)((1-e^t)/(2t))= lim_(t->0)(-t/(2t))=-1/2 $
nel secondo caso ho fatto un cambio di variabile, applicato due asintoticità e fatto l' hospital.
DOVE STA' L' ERRORE?
Mi spiego meglio:
Devo risolvere
$ lim_(x->1) ((1+lnx - e^(x-1))/((x-1)^2)) $ = $ lim_(x -> 1)((1/x- e^(x-1))/(2(x-1))) $ = $ lim_(x->1) ((-1/x^2 -e^(x-1))/2) $ = $ -2/2 $ = -1 soluzione ottenuta applicando due volte l' hospital
Ho capito questo svolgimento ma non riesco a capire perchè utilizzando il mio metodo non esce giusto l' esercizio:
$ lim_(x->1) ((1+lnx - e^(x-1))/((x-1)^2)) $ = $ lim_(t->0) (1+ln(t+1) -e^t)/t^2 $ = $ lim_(t->0)(1+t-e^t)/t^2=lim_(t->0)((1-e^t)/(2t))= lim_(t->0)(-t/(2t))=-1/2 $
nel secondo caso ho fatto un cambio di variabile, applicato due asintoticità e fatto l' hospital.
DOVE STA' L' ERRORE?
Risposte
Perché se usi i confronti locali, al numeratore devi confrontare tutto, non solo un pezzo: per cui
$$\ln(1+t)+1-e^t\sim t-t=0$$
se ti fermi al primo ordine (come fai tu) e quindi fornisce un risultato errato (il fatto che tu sostituisca solo una parte è equivalente alla cosa che ho scritto sopra). Se vuoi usare le sostituzioni corrette, devi ricorrere agli sviluppi di Taylor:
$$\ln(1+t)+1-e^t=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)+1-\left(1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)=-t^2$$
e quindi il limite diventa
$$\lim_{t\to 0}\frac{-t^2}{t^2}=-1$$
$$\ln(1+t)+1-e^t\sim t-t=0$$
se ti fermi al primo ordine (come fai tu) e quindi fornisce un risultato errato (il fatto che tu sostituisca solo una parte è equivalente alla cosa che ho scritto sopra). Se vuoi usare le sostituzioni corrette, devi ricorrere agli sviluppi di Taylor:
$$\ln(1+t)+1-e^t=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)+1-\left(1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)=-t^2$$
e quindi il limite diventa
$$\lim_{t\to 0}\frac{-t^2}{t^2}=-1$$
Qui:
Ti stanno antipatici gli o-piccoli, eh?
Quando la funzione $f$ da approssimare è coinvolta in un prodotto (e/o un quoziente, fa lo stesso), puoi trascurare l'errore che commetti sostituendo ad $f$ una funzione approssimante $g$. Sicché, ad esempio, fregandotene degli o-piccoli, puoi scrivere:
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x\tan x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\tan x}{x^3}=\cdots\]
Quando le funzioni sono coinvolte in somme, questo discorso non funziona più in generale, nel senso che ti può andar bene, o ti può andar male.
"Corazza":
$ lim_(t->0) (1+ln(t+1) -e^t)/t^2 $ = $ lim_(t->0)(1+t-e^t)/t^2$
Ti stanno antipatici gli o-piccoli, eh?
Quando la funzione $f$ da approssimare è coinvolta in un prodotto (e/o un quoziente, fa lo stesso), puoi trascurare l'errore che commetti sostituendo ad $f$ una funzione approssimante $g$. Sicché, ad esempio, fregandotene degli o-piccoli, puoi scrivere:
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x\tan x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\tan x}{x^3}=\cdots\]
Quando le funzioni sono coinvolte in somme, questo discorso non funziona più in generale, nel senso che ti può andar bene, o ti può andar male.
@ciampax: perché è errato fare delle stime "pezzo per pezzo"? Basta portarsi dietro gli errori: se l'ordine a cui ci si è fermati non è sufficientemente alto, si trova qualcosa del tipo[nota]Questo è ciò che si trova sviluppando al prim'ordine $1-e^t$ e $\ln(1+t)$ separatamente.[/nota]
\[\dfrac{\text{o}(t)}{t^2}\]
e si ricomincia da capo
\[\dfrac{\text{o}(t)}{t^2}\]
e si ricomincia da capo
"Plepp":
@ciampax: perché è errato fare delle stime "pezzo per pezzo"? Basta portarsi dietro gli errori: se l'ordine a cui ci si è fermati non è sufficientemente alto, si trova qualcosa del tipo[nota]Questo è ciò che si trova sviluppando al prim'ordine $1-e^t$ e $\ln(1+t)$ separatamente.[/nota]
\[\dfrac{\text{o}(t)}{t^2}\]
e si ricomincia da capo
Infatti il mio "errato" era da intendersi in quel senso: per come le faceva il nostro amico, andava a cancellare termini.
Ah ecco, grazie! 
grazie dell' aiuto! Ad ogni modo non ho usato gli opiccoli dal momento che la consegna specificava di usare confronti asintotici o l' hospital, non per altro!
hehe se magari quei cosi salvano la vita!
Ma quindi tornando al discorso:
l' errore stà nell' aver usato asintoticità con addendi? Quando ci sono prodotti o quozienti vado sul sicuro?
hehe se magari quei cosi salvano la vita!
Ma quindi tornando al discorso:
l' errore stà nell' aver usato asintoticità con addendi? Quando ci sono prodotti o quozienti vado sul sicuro?
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