Trova i valori di $\alpha$ per cui diverge l'integrale
trova i valori di $\alpha > 0 $ per cui diverge l'integrale: (se $\alpha$ fosse reale?)
$\int_2^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$
I punti dove ho problemi sono $2$ e $oo$ quindi devo spezzare l'integrale:
$\int_2^e \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx + \int_e^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$
e si posso studiare separatamente, per poi mettere al sistema le soluzioni trovate?
Cioè per il primo, se $x->2$ cosa posso dire?
$\int_2^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$
I punti dove ho problemi sono $2$ e $oo$ quindi devo spezzare l'integrale:
$\int_2^e \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx + \int_e^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$
e si posso studiare separatamente, per poi mettere al sistema le soluzioni trovate?
Cioè per il primo, se $x->2$ cosa posso dire?
Risposte
Serve una funzione asintotica alla funzione integranda per $x->2+$.. ora provo a farla anche io
non so se è fatto bene ..
Per il primo integrale: per $x->2$ il coseno diventa $cos(1/(2^a))$... $AA a inRR, a>0$ ... $0<1/(2^a)<1$ e quindi $cos 0=1>cos( 1/(2^a))>cos 1$..
il numeratore essendo $1-cos( 1/(2^a))$ tale che $0<1-cos( 1/(2^a))<1$ si può considerare una costante (
va bene?) e si può scrivere che $f(x)~~1/(x-2)^(a+1/2)$ per $x->2$ .. questo integrale per essere convergente deve avere esponente $a+1/2 <1$ cioè $0
$cos( 1/(x^a))=1-1/(2x^(2a))+O(1/(x^(4+a)))~~1-1/(2x^(2a))$
Semplificando i due +1 -1 a numeratore, ottieni una funzione tipo $ 1/(2x^(2a)) 1/((x-2)^(a+1/2))$ però qua non so andare avanti..ammesso che quello che ho fatto sia corretto!
Per il primo integrale: per $x->2$ il coseno diventa $cos(1/(2^a))$... $AA a inRR, a>0$ ... $0<1/(2^a)<1$ e quindi $cos 0=1>cos( 1/(2^a))>cos 1$..
il numeratore essendo $1-cos( 1/(2^a))$ tale che $0<1-cos( 1/(2^a))<1$ si può considerare una costante (
va bene?) e si può scrivere che $f(x)~~1/(x-2)^(a+1/2)$ per $x->2$ .. questo integrale per essere convergente deve avere esponente $a+1/2 <1$ cioè $0$cos( 1/(x^a))=1-1/(2x^(2a))+O(1/(x^(4+a)))~~1-1/(2x^(2a))$
Semplificando i due +1 -1 a numeratore, ottieni una funzione tipo $ 1/(2x^(2a)) 1/((x-2)^(a+1/2))$ però qua non so andare avanti..ammesso che quello che ho fatto sia corretto!
Grazie per l'impegno. Per il primo, il numeratore è una costante poichè il coseno per $x->2^+$ è semplicemente un numero e viene quindi omesso a priori? adesso provo a fare il secondo!
io credo di si.. dopo che ti sei assicurato che non annulla il numeratore! Sinceramente non ne sono sicuro.. speriamo che qualcuno ci aiuti 
Per il secondo un risultato notevole al quale si può fare riferimento è che $ int_(e)^(+oo) dx/x^a $ converge per $a<1$
Tu per caso hai la soluzione dell'esercizio?
Per il secondo un risultato notevole al quale si può fare riferimento è che $ int_(e)^(+oo) dx/x^a $ converge per $a<1$
Tu per caso hai la soluzione dell'esercizio?
Per quanto riguarda il secondo pezzo $f(x) \sim x^{2 \alpha} / x^{\alpha + 1/3} \sim 1 / x^{3 \alpha + 1/3}$ quindi $3 \alpha + 1/3 > 1 -> \alpha > 2/9$?
nessuna soluzione perchè l'ho preso da un compito d'esame!
"davidedesantis":
Per quanto riguarda il secondo pezzo $f(x) \sim x^{2 \alpha} / x^{\alpha + 1/3} \sim 1 / x^{3 \alpha + 1/3}$ quindi $3 \alpha + 1/3 > 1 -> \alpha > 2/9$?
forse ho scritto qualche cavolata...lo devo rifare!
"MrMeaccia":
Semplificando i due +1 -1 a numeratore, ottieni una funzione tipo $ 1/(2x^(2a)) 1/((x-2)^(a+1/2))$ però qua non so andare avanti..ammesso che quello che ho fatto sia corretto!
Mi viene come te, però forse si può dire $1 / x^{2\alpha} 1/ x^{\alpha + 1/3} \sim 1 / x^{3\alpha + 1/3} $ e l'esponente deve essere maggiore di 1!
che ne dici?Ho tolto il $2$ perchè a $+oo$ non conta....
Sai che non lo so?!.. a me pare giusto! pensandoci bene avrei fatto così ache io.. ma non è una garanzia
cmq ho ripassato una cosa: se $f~~g $ se $g!=0$ in un intorno di $x_0$ vuol dire che $lim_(x->x_0) (f/g) = L$ con $L in RR-(0)-(oo)$.. facendo il limite viene 1.. quindi vuol dire che abbiamo vinto
cioè: il secondo l'integrale converge se converge 1/(x)^(3a+1/3)
e questo converge se l'esponente è $(3a+1/3)>1$ cioè $a>-1/9$. Nelle condizioni iniziali veniva scritto che a>0
quindi (se non abbiamo fatto errori ) l'integrale converge se $0
C'è qualche grande saggio che può confermare questo risultato?
cmq ho ripassato una cosa: se $f~~g $ se $g!=0$ in un intorno di $x_0$ vuol dire che $lim_(x->x_0) (f/g) = L$ con $L in RR-(0)-(oo)$.. facendo il limite viene 1.. quindi vuol dire che abbiamo vinto
cioè: il secondo l'integrale converge se converge 1/(x)^(3a+1/3)
e questo converge se l'esponente è $(3a+1/3)>1$ cioè $a>-1/9$. Nelle condizioni iniziali veniva scritto che a>0
quindi (se non abbiamo fatto errori ) l'integrale converge se $0
C'è qualche grande saggio che può confermare questo risultato?
comunque ho provato a fare l'integrale con wolframalpha dando qualche valore ad alfa, questo esperimento sembra confermare il risultato!
attendiamo i veterani...comunque grazie!
Le due cose che avete fatto sono corrette: avete convergenza per $0<\alpha<1/2$ se $x\to 2^+$ e per $\alpha>2/9$ per $x\to+\infty$. pertanto l'integrale converge per $2/9<\alpha<1/2$.
Bene, grazie ancora ciampax!
grazie professor ciampax!!:)
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