Trova $b$ per cui converge l'integrale improp...fatto bene?

[smaug1]

Trova $b \in \mathbb{R}$ per cui converge l'integrale improprio:

$\int_0^oo \frac{x(1 - \cos x)e^{-x}}{\arctan (x^b)} dx$

Abbiamo dei problemi sia in $0$ che in $oo$

Allora per $x->0^+$ $f(x) \sim 1/2 x^3 / x^b$ $\sim$ $1 / x^{b-3}$

Siccome $b \in \mathbb{R}$ bisogna distinguere i casi in cui:

$1.$ $b > 0$

$2.$ $b = 0$

$3.$ $b < 0$

giusto? però comunque sia non abbiamo sempre detto che per $x-> 0^+$ l'integrale converge se $b-3 < 1$ cioè $b < 4$?

Ragazzi con la calma li capirò anche io gli integrali impropri!

[smaug1]

Intuizione! L'integrale converge per $b < 4$ solo se $b > 0$

Nel caso $b < 0$ la funzione mi diventa $f(x) \sim 1/2 ((x^3) / (\pi/2))$ quindi per $x->0^+$ converge $\forall$ $b < 0$??

Se $b = 0$ $f(x) \sim 1/2 x^3 / (\pi/4)$ cioè converge...sarà giusto??

A più infinito dovrei ragionare allo stesso modo...ma se $b > 0$ cosa posso dire?