Troppo semplice...

[freddofede]

... calcolare il polinomio di Taylor di ordine 4 in 0 di:

$f(x)=1/(sqrt(1+x^2) + sqrt(1-x^2))$

Allora

$1/(sqrt(1+x^2) + sqrt(1-x^2)) =(sqrt(1+x^2) - sqrt(1-x^2))/(2x^2)$

$P_4(sqrt(1+x^2)) = 1 + 1/2 x^2 - 1/8 x^4$
$P_4(sqrt(1-x^2)) = 1 - 1/2 x^2 - 1/8 x^4$

Quindi

$P_4(f(x)) = 1/2x^2(P_4(sqrt(1+x^2)) - P_4(sqrt(1-x^2))) = 1/2$
$1/(sqrt(1+x^2) + sqrt(1-x^2)) = 1/2 + o(x^4)$

Vi torna questo procedimento? A me sembra di aver sbagliato qualcosa, perchè il polinomio mi torna decisamente troppo semplice....

[son Goku1]

a me sembra giusto, basta considerare che ovviamente $2x^2$ è già un polinomio e quindi non va sviluppato, in effetti è semplice, se ti fermi al quarto ordine il risultato è 1/2

[freddofede]

"GuillaumedeL'Hopital":a me sembra giusto, basta considerare che ovviamente $2x^2$ è già un polinomio e quindi non va sviluppato, in effetti è semplice, se ti fermi al quarto ordine il risultato è 1/2

Grazie, l'ho chiesto perchè il solito "function calculator" mi dava anche un $x^4$ con coefficiente diverso da zero... comunque inizio a dubitare di quel sito ...

[son Goku1]

puoi scrivere tutto il risultato che ti dava? sicuro che non era $o(x^4)$?

[freddofede]

Come minimo lui me lo calcola di ordine cinque, ma lo stesso non ci dovrebbe essere stato un $x^4$...

Per lui invece torna: $1/(sqrt(1+x^2) + sqrt(1-x^2)) = 1/2 + x^4/16 + o(x^6) $ (nota: non so se usa l'"o piccolo" o l'"o grande...")...

Il sito di function calculator è http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess ... s/function

P.S.:Mi potresti dare una mano anche qui

https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 4385#64385

So che la domanda sembra banale, ma preferirei avere tutto chiaro, anche se magari in questo caso si tratta solo di una convenzione...