Trigonometria e numeri complessi
Come cavolo si fa a fare esercizi di questo tipo?
E' chiaro che si deve usare De Moivre, ma non ho la minima idea di come si faccia...
1) Esprimere $cos(5theta)$ come combinazione lineare di potenze di $sintheta$ e $costheta$.
2) Esprimere $sin^4theta$ come combinazione lineare di termini del tipo $cos(ktheta)$ e $sin(ktheta)$.
E' chiaro che si deve usare De Moivre, ma non ho la minima idea di come si faccia...
1) Esprimere $cos(5theta)$ come combinazione lineare di potenze di $sintheta$ e $costheta$.
2) Esprimere $sin^4theta$ come combinazione lineare di termini del tipo $cos(ktheta)$ e $sin(ktheta)$.
Risposte
2) $sint = (e^(jt)-e^(-jt))/(2j) => sin^4t = ((e^(jt)-e^(-jt))^4)/16$
Poniamo $e^(jt) = x$ e $e^(-jt) = y$
$sin^4t = 1/16 (x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$
Notiamo che $xy=1$, risulta
$x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4 = x^4 + y^4 + 6 - 4(x^2 + y^2)$
Ma $(x^n + y^n)/2 = cos(nt)$, dunque
$sin^4t = 1/8 cos(4t) + 3/8 - 1/2 cos(2t)$
Notare la presenza della componente continua $3/8$, conseguenza del fatto che la media su un periodo della funzione $sin^4t$ è proprio $3/8$... a questo risultato si può giungere anche notando che il coefficiente $c_0$ della serie di Fourier della suddetta funzione è $3/8$
Poniamo $e^(jt) = x$ e $e^(-jt) = y$
$sin^4t = 1/16 (x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$
Notiamo che $xy=1$, risulta
$x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4 = x^4 + y^4 + 6 - 4(x^2 + y^2)$
Ma $(x^n + y^n)/2 = cos(nt)$, dunque
$sin^4t = 1/8 cos(4t) + 3/8 - 1/2 cos(2t)$
Notare la presenza della componente continua $3/8$, conseguenza del fatto che la media su un periodo della funzione $sin^4t$ è proprio $3/8$... a questo risultato si può giungere anche notando che il coefficiente $c_0$ della serie di Fourier della suddetta funzione è $3/8$
Grazie Kroldar!
1) Vediamo se ho capito.
$cos5theta+i*sen5theta=e^(5thetai)=(e^(thetai))^5=(costheta+i*sentheta)^5$.
$cos5theta=Re((costheta+i*sentheta)^5)$.
$cos5theta+i*sen5theta=e^(5thetai)=(e^(thetai))^5=(costheta+i*sentheta)^5$.
$cos5theta=Re((costheta+i*sentheta)^5)$.
Appunto, quindi è come pensavo... Tocca fare quel calcolo mostruoso...
Il calcolo è veloce.
Applicando il binomio di Newton si ottiene
$Re((costheta+i*sentheta)^5)=cos^5theta+((5),(2))cos^3theta*sen^2theta+((5),(4))costheta*sen^4theta$.
Applicando il binomio di Newton si ottiene
$Re((costheta+i*sentheta)^5)=cos^5theta+((5),(2))cos^3theta*sen^2theta+((5),(4))costheta*sen^4theta$.
"fireball":
Come cavolo si fa a fare esercizi di questo tipo?
E' chiaro che si deve usare De Moivre, ma non ho la minima idea di come si faccia...
1) Esprimere $cos(5theta)$ come combinazione lineare di potenze di $sintheta$ e $costheta$.
2) Esprimere $sin^4theta$ come combinazione lineare di termini del tipo $cos(ktheta)$ e $sin(ktheta)$.
e se non uso de moivre? te lo svolgo senza usare de moivre: se dovevi svolgerlo con de moivre prendi la mia soluzione e la butti.
2)$sin^4theta=(sin^2( theta))^2=((1-cos(2*theta))/2)^2=1/4+(cos^2(2*theta))/4-cos(2*theta)/2$
ora $cos^2(2*theta)=(1+cos(4*theta))/2$ da cui
$sin^4theta=1/4+1/4*((1+cos(4*theta))/2)-cos(2*theta)/2=3/8-cos(2*theta)/2+1/8*cos(4*theta)$
Ok, no è che l'esercizio faceva parte del capitolo sui numeri complessi...
"fireball":
Ok, no è che l'esercizio faceva parte del capitolo sui numeri complessi...
per cui buttala la mia souzione
Ma no... Perché dici così? 
"fireball":
Come cavolo si fa a fare esercizi di questo tipo?
E' chiaro che si deve usare De Moivre, ma non ho la minima idea di come si faccia...
1) Esprimere $cos(5theta)$ come combinazione lineare di potenze di $sintheta$ e $costheta$.
2) Esprimere $sin^4theta$ come combinazione lineare di termini del tipo $cos(ktheta)$ e $sin(ktheta)$.
$cos(5*theta)=Re[(e^(i*theta))^5]=Re[(cos(theta)+i*sin(theta))^5]$
Ora ricordando il triangolo di tartaglia, i coefficienti dei singoli coefficienti sono in sequenza $1,5,10,10,5,1$ allora si ha:
$(cos(theta)+i*sin(theta))^5=cos^5(theta)+i*5*cos^4(theta)sin(theta)-10*cos^3(theta)*sin^2(theta)-i*10*cos^2(theta)sin^3(theta)+5cos(theta)sin^4(theta)+i*sin^5(theta)$ e prendendone solo la parte reale si ha:
$cos(5*theta)=cos^5(theta)-10*cos^3(theta)*sin^2(theta)+5cos(theta)sin^4(theta)$
"Piera":
Il calcolo è veloce.
Applicando il binomio di Newton si ottiene
$Re((costheta+i*sentheta)^5)=cos^5theta+((5),(2))cos^3theta*sen^2theta+((5),(4))costheta*sen^4theta$.
ci vuole un $-$ al termine $((5),(2))cos^3theta*sen^2theta$ dovuto ad $i^2=-1$ nello sviluppo del quadrato di $i*sin(theta)$
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