Tre esercizi per voi

[Sk_Anonymous]

1)
Posto,$AAx inR$ e $AAninN$,$f_n(x)=nxe^(1-n|x|)$,studiarne la convergenza puntuale e verificare che la convergenza non è uniforme in $R$:determinare poi i sottoinsiemi di $R$ in cui la convergenza è uniforme.

2)
Dire per quali valori della variabile reale $x$, l'equazione

$sum_(n=1)^inftyx^n=sum_(n=0)^infty(x-1)^n$

ha senso e, in tal caso, determinarne le soluzioni.

3)
Posto $D={(x,y)inR^2:max{x^2,1/x}<=y<=2min{x^2,1/x}}$,calcolare

$int_D(3x^4)/y^2*e^(-x^3)dxdy$

[CiUkInO1]

A naso e in 2 parole...
La convergenza puntuale si vede dal limite per n che va a infinito, che fa zero.
Per cui la succesione converge puntualmente alla funzione nulla.
Per la convergenza uniforme devi vedere dov'è il sup, che comunque non fa zero, ma dovrebbe dipendere da n.
Questo fa si che da un certo x in poi, hai convergenza uniforme.

Non sono stato molto chiaro, ma non ho tempo di fare tutti i conti, era solo una spiegazione intuitiva.
Spero ti basti

[Sk_Anonymous]

Mi butto sul 3°.
Si ha (L=integrale richiesto):
$L=int_(-oo)^0 3x^4e^(-x^3)dx int_(x^2)^(2/x)1/(y^2)dy+int_0^1 3x^4e^(-x^3)dx int_(1/x)^(2x^2)1/(y^2)dy+int_(1)^(oo)3x^4e^(-x^3)dx int_(x^2)^(2/x)1/(y^2)dy$
Gli integrali sono convergenti e fattibili per parti.
karl