Tre assiomi e... una dimostrazione

[Principe2]

premetto le parole del mio professore quando ci ha fatto questa dimostrazione: "a nessuno di voi chiederò questa dimostrazione, quindi potete anche non studiarla; però sarebbe bene che ve la leggiate e la capiate almeno una volta: vi darà grande soddisfazione.

quindi ho deciso di metterla perchè credo che per molti di voi, sia per chi già l'ha studiata, sia per chi ancora non l'ha fatta, potrebbe essere stimolante guardarla.

diamo due principi che indico con A e B:

A) sia N l'insieme dei naturali. comunque preso U contenuto in N tale che verifica le due seguenti condizioni 1) 0 appartiene ad U. 2) comunque preso k in U allora k+1 appartiene ancora ad U. Allora U=N.

B) comunque preso un sottoinsieme di N non vuoto, tale sottoinsieme ammette minimo.

occorre dimostrare l'implicazione A-->B

bene.. la dimostrazione è breve... ma... sentite che roba!!

supponiamo, per assurdo, che esista T contenuto in N, tale che T non ammette minimo. Allora T ha almeno due elementi distinti, perchè altrimenti l'unico elemento sarebbe il minimo. Poniamo U l'insieme dei minoranti di T: U è contenuto in N e U non è vuoto perchè contiene 0, che è minore di un qualunque naturale. Ora, poichè T ha almeno due elementi distinti, allora uno di essi non appartiene ad U, quindi UN. Pertanto, poichè U verifica la condizione 1, allora non verifica la 2, perchè, altrimenti sarebbe U=N. quindi esiste k in U tale che k+1 non è elemento di U. Poichè k sta in U, allora k<=t, comunque preso t in T; supponiamo che k non sta in T, allora k In conclusione è assurdo pensare che, se vale A non vale B, quindi, se vale A vale B, ovvero A implica B.

folle!!!

p.s. oggi sto in vena di grandi dimostrazioni!

ciao, ubermensch

p.p.s. mi accorgo ora di aver lasciato il titolo vecchio del topic; in realtà la dimostrazione è più lunga e dimostra l'equivalenza di tre principi; e io l'ho accorciata mettendo solo una implicazione. quindi, in realtà si dimostra che A e B sono equivalenti...


Modificato da - ubermensch il 27/03/2004 19:04:01

[Sk_Anonymous]

E' abbastanza normale che Teoremi che sembrano cosi' facili da enunciare, abbiano dimostrazioni spesso tecnicamente non semplicissime; non so se ti e' capitato di vedere (di solito si fa all'inizio del corso di Analisi I) le dimostrazioni delle proprieta' delle operazioni dei numeri naturali! Anche quelle, come quella che tu hai riportato, si servono del principio di induzione, che e' il tuo principio A. A volte sono ancora piu' complicate di quella che hai scritto! Senza parlare delle proprieta' delle operazioni dei numeri reali, che vengono definiti come semirette aperte di Q, o come completamento di Q... circa 3 pagine per ogni dimostrazione.
Questo accade perche' si e' troppo in profondita' alle cose, e si vuole dedurre il tutto solo dalle proprieta' degli insiemi, anch'esse per'altro ricche di dimostrazioni tecniche.

Ciao, Luca.

[Principe2]

è vero luca!! i fondamenti della matematica sono spesso i più difficili da indagare.

p.s. Sono contento che qualcuno abbia infine letto il mio stupendo topic. ti consiglio, a proposito, di leggere "Massimo comun divisore" in medie e superiori.