Trattrice di Newton-Huygens
ciao a tutti,
avrei bisogno di qualche aiutino per capire meglio come si ottiene l'espressione matematica della trattrice di Newton-Huygens.
a parole mie: la trattrice è la curva descritta da un punto inizialmente nella posizione $(0,a)$, trascinato da una "sbarra" inestensibile lunga $a$, che ha l'altro estremo fissato sulle ascisse ed in moto (tale estremo) con velocità costante.
io non so arrivare alla soluzione con dei ragionamenti, ma riesco appena a giustificare a posteriori la forma matematica della soluzione (so fare a malapena il ragionamento al contrario insomma: dalla soluzione-->al problema).
poniamo $a=1$, tanto non è questo il punto.
la trattrice, in forma non ancora esplicita, è: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$
guardando tale scrittura, io ho pensato di vedere $\frac{dy}{dx}$ come un rapporto tra quantità finite $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, cioè come rapporto dell'altezza a cui si trova il punto ($y$) per la proiezione della sbarra sulle ascisse ($\sqrt{1-y^2}$).
questo ragionamento un po' fumoso porta quindi proprio alla scrittura $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$, dove il segno meno lo inserisco per "far quadrare i conti". nel senso che io ho sotto gli occhi la forma di tale curva e vedo che la sua tangente in ogni punto deve avere coefficiente angolare negativo: $m = \frac{dy}{dx} < 0$.
questo ragionamento però non mi soddisfa affatto. sia perchè non è affatto rigoroso, sia perchè funziona più o meno al contrario: riesco a giustificare la soluzione ma non a costruirla.
dato che a me è richiesto il ragionamento diretto che porta a quella soluzione, mi sapreste dare qualche consiglio da seguire almeno per capire come impostarlo? perchè io proprio se non ricordo a memoria la scrittura che vi ho indicato, penso che lascerei l'esercizio in bianco ._.
un aiutino?
grazie in anticipo per le risposte.
avrei bisogno di qualche aiutino per capire meglio come si ottiene l'espressione matematica della trattrice di Newton-Huygens.
a parole mie: la trattrice è la curva descritta da un punto inizialmente nella posizione $(0,a)$, trascinato da una "sbarra" inestensibile lunga $a$, che ha l'altro estremo fissato sulle ascisse ed in moto (tale estremo) con velocità costante.
io non so arrivare alla soluzione con dei ragionamenti, ma riesco appena a giustificare a posteriori la forma matematica della soluzione (so fare a malapena il ragionamento al contrario insomma: dalla soluzione-->al problema).
poniamo $a=1$, tanto non è questo il punto.
la trattrice, in forma non ancora esplicita, è: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$
guardando tale scrittura, io ho pensato di vedere $\frac{dy}{dx}$ come un rapporto tra quantità finite $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, cioè come rapporto dell'altezza a cui si trova il punto ($y$) per la proiezione della sbarra sulle ascisse ($\sqrt{1-y^2}$).
questo ragionamento un po' fumoso porta quindi proprio alla scrittura $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$, dove il segno meno lo inserisco per "far quadrare i conti". nel senso che io ho sotto gli occhi la forma di tale curva e vedo che la sua tangente in ogni punto deve avere coefficiente angolare negativo: $m = \frac{dy}{dx} < 0$.
questo ragionamento però non mi soddisfa affatto. sia perchè non è affatto rigoroso, sia perchè funziona più o meno al contrario: riesco a giustificare la soluzione ma non a costruirla.
dato che a me è richiesto il ragionamento diretto che porta a quella soluzione, mi sapreste dare qualche consiglio da seguire almeno per capire come impostarlo? perchè io proprio se non ricordo a memoria la scrittura che vi ho indicato, penso che lascerei l'esercizio in bianco ._.
un aiutino?
grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
avevo già visto wikipedia, ma non mi è stata molto d'aiuto.
su wikipedia la scrittura che ho indicato io viene infatti praticamente incollata senza dare tante giustificazioni...
mentre le proprietà geometriche... beh... affascinanti (quelle che ho capito), ma non utili a risolvere il mio dubbio espresso qui
su wikipedia la scrittura che ho indicato io viene infatti praticamente incollata senza dare tante giustificazioni...
mentre le proprietà geometriche... beh... affascinanti (quelle che ho capito), ma non utili a risolvere il mio dubbio espresso qui
a parole mie: la trattrice è la curva descritta da un punto inizialmente nella posizione (0,a), trascinato da una "sbarra" inestensibile lunga a, che ha l'altro estremo fissato sulle ascisse ed in moto (tale estremo) con velocità costante.
Che sia "a velocità costante" non lo dice nessuno. Non ce n'è bisogno....
un aiutino?
grazie in anticipo per le risposte.
Si, ma qual è la domanda ?
Cioè cos'è che non ti va bene ?
Hai:
- una descrizione geometrico-fisica del problema: "sbarra" cioè segmento di lunghezza fissa di cui un estremo è vincolato sull'asse x e l'altro è non vincolato (e descriverà la trattrice).
- da qui si passa alla descrizione matematica: $y' = -y/(\sqrt{a^2-y^2})$
- da li si risolve come una equazione differenziale.
In questi passaggi quale non ti va bene ?
tutto qui? o.O
non c'è qualche passaggio intermedio di più alta filosofia? o.O
perchè boh... io non riesco a passare subito a scrivere $y' = ...$; e credevo quindi che non tenessi conto di qualche passaggio intermedio, anche solo puramente discorsivo.
ps.
si, la velocità costante era un extra (sbagliato) inserito dal sottoscritto
non c'è qualche passaggio intermedio di più alta filosofia? o.O
perchè boh... io non riesco a passare subito a scrivere $y' = ...$; e credevo quindi che non tenessi conto di qualche passaggio intermedio, anche solo puramente discorsivo.
ps.
si, la velocità costante era un extra (sbagliato) inserito dal sottoscritto
Boh, non ti capisco..... 
uhm... ok, lascia stare, mando giù a memoria
grazie comunque
grazie comunque
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