Trasformazioni Regolari in R^2
Ciao a tutti. Definita una trsformazione \(\displaystyle \Phi : (u,v) \in T ⊂ R^2 -> (x,y) \in D \subset R^2 \)
mi trovo il teorema
Se \(\displaystyle \Phi Regolare --> \exists \Phi ^-1 \) Regolare
La dimostrazione inizia con questo:
Dato che il determinante del sistema [quale?] è NON NULLO per la regolarità di \Phi, possiamo esplicitare u,v in funzione di x,y. Cioè vale il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{cases}
\)
Da dove esce fuori?
mi trovo il teorema
Se \(\displaystyle \Phi Regolare --> \exists \Phi ^-1 \) Regolare
La dimostrazione inizia con questo:
Dato che il determinante del sistema [quale?] è NON NULLO per la regolarità di \Phi, possiamo esplicitare u,v in funzione di x,y. Cioè vale il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{cases}
\)
Da dove esce fuori?
Risposte
La mappa \(\Phi\) agisce in questo modo
\[
\Phi : T \to D : \begin{pmatrix}u \\ v \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \end{pmatrix}
\]
e questo dà quindi origine al sistema
\[
\begin{cases}
x = x(u,v) \\
y = y(u,v)
\end{cases}.
\]
A questo punto, se \(\Phi\) è regolare nel punto \((u_0,v_0)\) significa che la matrice Jacobiana \(J_\Phi(u_0,v_0)\) ha determinante non nullo in (\(u_0, v_0)\); puoi quindi andare ad applicare il teorema di inversione locale e tirare fuori il sistema che hai scritto tu.
\[
\Phi : T \to D : \begin{pmatrix}u \\ v \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \end{pmatrix}
\]
e questo dà quindi origine al sistema
\[
\begin{cases}
x = x(u,v) \\
y = y(u,v)
\end{cases}.
\]
A questo punto, se \(\Phi\) è regolare nel punto \((u_0,v_0)\) significa che la matrice Jacobiana \(J_\Phi(u_0,v_0)\) ha determinante non nullo in (\(u_0, v_0)\); puoi quindi andare ad applicare il teorema di inversione locale e tirare fuori il sistema che hai scritto tu.
Grazie mille! Ho appena trovato quel teorema ed in effetti i conti tornano.
Ho però un'altro dubbio: sempre nello stesso teorema, invertendo le funzioni e studiando il sistema inverso e il vettore derivato, mi trovo che \(\displaystyle u(x,y), v(x,y) \in C^{1} (T) \) e che il vettore derivato \(\displaystyle \tau = \begin{cases}
u'= u'(x,y) \\
v'= v'(x,y)
\end{cases} \) è non nullo in tutto l'insieme di definizione. Ho così verificato la seconda e terza proprietà della regolarità di una trasformazione. Ma la prima? Cioè che \(\displaystyle D \), il trasformato di \(\displaystyle T \) sia un dominio regolare, ce lo dice qualche altro teorema a monte? Perchè nell'invertibilità globale mi trovo che un connesso viene trasformato in un connesso, ma non parla di regolarità degli insiemi.
Ho però un'altro dubbio: sempre nello stesso teorema, invertendo le funzioni e studiando il sistema inverso e il vettore derivato, mi trovo che \(\displaystyle u(x,y), v(x,y) \in C^{1} (T) \) e che il vettore derivato \(\displaystyle \tau = \begin{cases}
u'= u'(x,y) \\
v'= v'(x,y)
\end{cases} \) è non nullo in tutto l'insieme di definizione. Ho così verificato la seconda e terza proprietà della regolarità di una trasformazione. Ma la prima? Cioè che \(\displaystyle D \), il trasformato di \(\displaystyle T \) sia un dominio regolare, ce lo dice qualche altro teorema a monte? Perchè nell'invertibilità globale mi trovo che un connesso viene trasformato in un connesso, ma non parla di regolarità degli insiemi.
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