Trasformazione trigonometrica

[B.Russell]

Dato : $A*cos(\omega *t)+B*i*sen(\omega *t)$, come si dimostra che essa è identica a :$c*cos(\omega *t +\varphi)$ ? Ho provato applicando le formule di Eulero, ma mi sono bloccato. Se potete inserire i passaggi ve ne sarei grato. Grazie a tutti per la risposta.

[K.Lomax]

Semplicemente applicando la formula di addizione per il coseno:

[tex]C\cos(\omega t+\phi)=C\cos\phi\cos(\omega t)-C\sin\phi\sin(\omega t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)[/tex]

dove [tex]A=C\cos\phi[/tex] e [tex]B=-C\sin\phi[/tex]. Quindi, da queste ultime, noti [tex]C[/tex] e [tex]\phi[/tex] determini [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Viceversa, se sono note [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], determini [tex]\phi=-\arctan\left(\frac{B}{A}\right)[/tex] e [tex]C=\frac{A}{\cos\phi}=-\frac{B}{\sin\phi}[/tex].
Non capisco il tuo temine immaginario da dove sia uscito.

[B.Russell]

Ok, grazie tante. Hai ragione l'unità immaginaria non c'è. Però io inizialmente avevo $A=D+E$ e $B=i(D-E)$. Il tutto proveniente dalla soluzione omogenea dell'equazione di un oscillatore armonico con $\Delta <0$.Ora mi chiedo va bene lo stesso (come credo di aver capito) o posta così cambia qualcosa?

[K.Lomax]

Si va bene anche per coefficienti immaginari. Infatti, nelle tue espressioni, ponendo [tex]D=e^{i\phi}[/tex] e [tex]E=e^{-i\phi}[/tex], avremo

[tex]A=2\dfrac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2}=2\cos\phi[/tex]
[tex]B=-2\dfrac{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}{2i}=-2\sin\phi[/tex]

dove ti ricordo che [tex]i=\frac{1}{-i}[/tex] e dove quindi [tex]C=2[/tex]