Trasformazione piano complesso
Siano $ z$ e $s$ due variabili complesse, come faccio a vedere che la trasformazione $z=1/(1-s)$ mappa i punti [tex]R_e(s)<0[/tex] nel cerchio di centro $(1/2,0) $ e raggio $1/2$?
A me viene $z=1/((1-\alpha)+j\beta)= (1-\alpha)/((1-\alpha)^2+\beta^2)-j \beta/((1-\alpha)^2+\beta^2)$ quindi
$x=(1-\alpha)/((1-\alpha)^2+\beta^2)$
$y=-\beta/((1-\alpha)^2+\beta^2)$ e quindi $ x^2+y^2 = 1/((1-\alpha)^2+\beta^2) $ che è un cerchio centrato in $(0,0) $.
Dove ho sbagliato?
A me viene $z=1/((1-\alpha)+j\beta)= (1-\alpha)/((1-\alpha)^2+\beta^2)-j \beta/((1-\alpha)^2+\beta^2)$ quindi
$x=(1-\alpha)/((1-\alpha)^2+\beta^2)$
$y=-\beta/((1-\alpha)^2+\beta^2)$ e quindi $ x^2+y^2 = 1/((1-\alpha)^2+\beta^2) $ che è un cerchio centrato in $(0,0) $.
Dove ho sbagliato?
Risposte
Non capisco il senso della tua operazione: la circonferenza che hai trovato non ha nemmeno raggio costante.
Prova piuttosto a scrivere la disequazione che descrive il cerchio di centro \((1/2,0)\) e raggio \(1/2\) e vedere se le immagini tramite la trasformazione data, sotto le ipotesi, date la verificano.
Prova piuttosto a scrivere la disequazione che descrive il cerchio di centro \((1/2,0)\) e raggio \(1/2\) e vedere se le immagini tramite la trasformazione data, sotto le ipotesi, date la verificano.
"Delirium":
Non capisco il senso della tua operazione: la circonferenza che hai trovato non ha nemmeno raggio costante.
...infatti rappresenta un cerchio di raggio variabile ma $<1 $ ( non circonferenza ) .
Alla fine ho risolto perchè ho trovato lo svolgimento su un libro, ma continuo a non capire dove sta l'errore in quello che ho scritto...
"Slashino":
[...] ...infatti rappresenta un cerchio di raggio variabile ma $<1 $ ( non circonferenza ) [...]
No. Quella che hai scritto è l'equazione di una circonferenza, non di un cerchio. Un cerchio (o disco) consta anche di punti interni, quindi trattasi dell'insieme \(B_r (x_0)= \{x \in \mathbb{R}^2 \ : \ |x_0 - x | \le r \} \).
Ma secondo te è corretto affermare che quella relazione non mi identifica completamente la zona piano mappata visto che da solo una limitazione sui moduli e non sulla fase?
Anche tutti i punti interni al cerchio centrato in 1/2 e raggio 1/2 hanno modulo $<= 1 $ e quindi rispettando quella relazione...
Anche tutti i punti interni al cerchio centrato in 1/2 e raggio 1/2 hanno modulo $<= 1 $ e quindi rispettando quella relazione...
In realtà quella trasformazione è di Möbius, quindi è probabile che ci sia una via geometrica per risolvere il problema, strada che al momento non mi sovviene. Vediamo se riesco a chiarire il tuo dubbio mediante qualche conto: sia \(s \in \mathbb{C}\) t.c. \(s=a+ib\) con \(a,b\) reali, \(a <0 \). Sia poi \(c\) il cerchio delimitato dalla circonferenza di raggio \(1/2\) e di centro \((1/2, 0)\), cioè \((x- 1/2)^2 + y^2 \le 1/4 \ \longrightarrow \ x^2 - x +y^2 \le 0 \); voglio provare che \(z \in c\).
Si ha che \[z = \frac{1 - a}{(1-a)^2 + b^2} + i \frac{b}{(1-a)^2 + b^2} \]
provo quindi ad imporre la condizione per vedere cosa accade: \[\mathfrak{Re}(s)^2 - \mathfrak{Re}(s) + \mathfrak{Im}(s)^2 \le 0 \]cioè \[\frac{(1 - a)^2}{[(1-a)^2 + b^2]^2} - \frac{1 - a}{(1-a)^2 + b^2} + \frac{b^2}{[(1-a)^2 + b^2]^2} \le 0\]
che diventa, dopo aver buttato via il denominatore, che tanto è sempre strettamente positivo per ipotesi \[(1-a)^2 - (1-a)[(1-a)^2 + b^2] + b^2 \le 0 \] \[ (1-a)^2 - (1-a)^3 - (1-a)b^2 + b^2 \le 0 \] che diventa \[ (1-a)^2 - (1-a)^3 + ab^2 \le 0\]
e cioè \[a[(1-a)^2 + b^2] \le 0 \] che è certamente vera per le ipotesi fatte su \(a\).
Si ha che \[z = \frac{1 - a}{(1-a)^2 + b^2} + i \frac{b}{(1-a)^2 + b^2} \]
provo quindi ad imporre la condizione per vedere cosa accade: \[\mathfrak{Re}(s)^2 - \mathfrak{Re}(s) + \mathfrak{Im}(s)^2 \le 0 \]cioè \[\frac{(1 - a)^2}{[(1-a)^2 + b^2]^2} - \frac{1 - a}{(1-a)^2 + b^2} + \frac{b^2}{[(1-a)^2 + b^2]^2} \le 0\]
che diventa, dopo aver buttato via il denominatore, che tanto è sempre strettamente positivo per ipotesi \[(1-a)^2 - (1-a)[(1-a)^2 + b^2] + b^2 \le 0 \] \[ (1-a)^2 - (1-a)^3 - (1-a)b^2 + b^2 \le 0 \] che diventa \[ (1-a)^2 - (1-a)^3 + ab^2 \le 0\]
e cioè \[a[(1-a)^2 + b^2] \le 0 \] che è certamente vera per le ipotesi fatte su \(a\).
Grazie mille 
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