Trasformazione in coordinate polari integrali doppi
Salve a tutti ragazzi, sto trovando dei problemi nel trasformare gli insiemi di integrazione di alcuni integrali doppi in coordinate polari... Vi scrivo due esempi... Non riesco a raccapezzarmi, soprattutto nel secondo caso:
1) $D={(x,y): x^2+y^2<=1, x+y>=1, y<=x}$
2) $D={(x,y): 2<=x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2sqrt(2)x<=0, y>=0}$
Mi chiedevo se ci fosse un metodo standard, soprattutto nella ricerca degli estremi di integrazione...
1) $D={(x,y): x^2+y^2<=1, x+y>=1, y<=x}$
2) $D={(x,y): 2<=x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2sqrt(2)x<=0, y>=0}$
Mi chiedevo se ci fosse un metodo standard, soprattutto nella ricerca degli estremi di integrazione...
Risposte
Forse sono riuscito a risolvere il secondo problema... Si doveva calcolare $intint_D x/sqrt(x^2+y^2) dxdy$ dove D è il secondo insieme che ho proposto...
Applicando una trasformazione in coordinate polari (con centro O), le circonferenze concentriche di raggio $sqrt(2)$ e $2$ e centro $O$ assumono rispettivamente equazione $rho=sqrt(2)$ e $rho=2$... La prima condizione dell'insieme diventa quindi $sqrt(2)<=rho<=2$... Allo stesso modo la seconda e la terza condizione si esprimono: $rho=2sqrt(2)cos(theta)<=0$ e $rho*sin(theta)>=0$... Ponendo $rho$ in ordinata e $theta$ in ascissa e rappresentando le condizioni in questione si ottiene un grafico di questo tipo:
http://img402.imageshack.us/img402/6664 ... a15211.png, dove il nuovo dominio $B$ è la parte di piano compresa tra le due rette e la funzione $rho=2sqrt(2)cos(theta)$ nel primo quadrante...
Dopo aver calcolato le intersezioni delle rette con la funzione, è possibile dividere $B$ nei due insiemi $A$ e $C$ con:
$A={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2, 0<=theta<=pi/4 }$ e $C={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2sqrt(2)cos(theta), pi/4<=theta<=pi/3 }$.
Risulterà quindi:
$intint_D x/sqrt(x^2+y^2) dxdy=intint_A rhocos(theta) drhod theta + intint_C rhocos(theta) drho d theta $ calcolabile con la formula di riduzione... è corretto come ho operato? Questo stesso metodo risulterebbe complesso nel caso del primo dominio.. Consigli?
Applicando una trasformazione in coordinate polari (con centro O), le circonferenze concentriche di raggio $sqrt(2)$ e $2$ e centro $O$ assumono rispettivamente equazione $rho=sqrt(2)$ e $rho=2$... La prima condizione dell'insieme diventa quindi $sqrt(2)<=rho<=2$... Allo stesso modo la seconda e la terza condizione si esprimono: $rho=2sqrt(2)cos(theta)<=0$ e $rho*sin(theta)>=0$... Ponendo $rho$ in ordinata e $theta$ in ascissa e rappresentando le condizioni in questione si ottiene un grafico di questo tipo:
http://img402.imageshack.us/img402/6664 ... a15211.png, dove il nuovo dominio $B$ è la parte di piano compresa tra le due rette e la funzione $rho=2sqrt(2)cos(theta)$ nel primo quadrante...
Dopo aver calcolato le intersezioni delle rette con la funzione, è possibile dividere $B$ nei due insiemi $A$ e $C$ con:
$A={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2, 0<=theta<=pi/4 }$ e $C={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2sqrt(2)cos(theta), pi/4<=theta<=pi/3 }$.
Risulterà quindi:
$intint_D x/sqrt(x^2+y^2) dxdy=intint_A rhocos(theta) drhod theta + intint_C rhocos(theta) drho d theta $ calcolabile con la formula di riduzione... è corretto come ho operato? Questo stesso metodo risulterebbe complesso nel caso del primo dominio.. Consigli?
up
Se provi a disegnarti il dominio puoi ricondurti alle coordinate polari.
Si vede subito che $sqrt2<=rho<=2$, mentre per $theta$ devi prima trovare l'intersezione tra i due cerchi:
\begin{cases} x^2+y^2-2=0 \\ x^2+y^2-2\sqrt{2}x=0 \end{cases}
$=>x^2+y^2-2=x^2+y^2-2\sqrt{2}x$
$=>x=sqrt2/2$
e poiché stiamo considerando solo le $y>=0$, per tale ascissa si trova $y=sqrt(3/2)$
Il segmento tra l'origine $O(0,0)$ e il punto $P(sqrt2/2,sqrt(3/2))$ misura
$OP=sqrt((x_O-x_P)^2+(y_O-y_P)^2)=sqrt(1/2+3/2)=sqrt2$
e corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo $OPA$, essendo $A$ punto giacente sull'asse $x$. Allora $theta$ si ricava dalla trigonometria:
$OP=x_P/cos(theta)=>cos(theta)=x_P/(OP)=>theta=arccos(x_P/(OP))=arccos((sqrt2/2)/sqrt2)=arccos(1/2)=pi/3$
Quindi le coordinate polari sono
\begin{cases} \sqrt{2} \le \rho \le 2 \\ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3} \end{cases}
e l'integrale diventa
$int int_D x/sqrt(x^2+y^2)dxdy=int_0^(pi/3) int_sqrt2^2 (rho^2 cos(theta))/(rho) d rho d theta=int_0^(pi/3) cos(theta) d theta int_sqrt2^2 rho d rho=[sin(theta)]_0^(pi/3) cdot [rho^2/2]_sqrt2^2=sqrt(3)/2 cdot 1=sqrt(3)/2$
Si vede subito che $sqrt2<=rho<=2$, mentre per $theta$ devi prima trovare l'intersezione tra i due cerchi:
\begin{cases} x^2+y^2-2=0 \\ x^2+y^2-2\sqrt{2}x=0 \end{cases}
$=>x^2+y^2-2=x^2+y^2-2\sqrt{2}x$
$=>x=sqrt2/2$
e poiché stiamo considerando solo le $y>=0$, per tale ascissa si trova $y=sqrt(3/2)$
Il segmento tra l'origine $O(0,0)$ e il punto $P(sqrt2/2,sqrt(3/2))$ misura
$OP=sqrt((x_O-x_P)^2+(y_O-y_P)^2)=sqrt(1/2+3/2)=sqrt2$
e corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo $OPA$, essendo $A$ punto giacente sull'asse $x$. Allora $theta$ si ricava dalla trigonometria:
$OP=x_P/cos(theta)=>cos(theta)=x_P/(OP)=>theta=arccos(x_P/(OP))=arccos((sqrt2/2)/sqrt2)=arccos(1/2)=pi/3$
Quindi le coordinate polari sono
\begin{cases} \sqrt{2} \le \rho \le 2 \\ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3} \end{cases}
e l'integrale diventa
$int int_D x/sqrt(x^2+y^2)dxdy=int_0^(pi/3) int_sqrt2^2 (rho^2 cos(theta))/(rho) d rho d theta=int_0^(pi/3) cos(theta) d theta int_sqrt2^2 rho d rho=[sin(theta)]_0^(pi/3) cdot [rho^2/2]_sqrt2^2=sqrt(3)/2 cdot 1=sqrt(3)/2$
Ciao Brancaleone... Grazie innanzitutto della risposta...!
Non ho capito una cosa.. Come mai $theta$ si valuta soltanto considerando l'arco di circonferenza ottenuto dall'intersezione di $x^2+y^2=2$ e $x^2+y^2-2sqrt(2)x=0$? E non hai invece considerato le intersezioni con la circonferenza $x^2+y^2=4$? Il metodo che ho seguito io è quindi sbagliato?
Non ho capito una cosa.. Come mai $theta$ si valuta soltanto considerando l'arco di circonferenza ottenuto dall'intersezione di $x^2+y^2=2$ e $x^2+y^2-2sqrt(2)x=0$? E non hai invece considerato le intersezioni con la circonferenza $x^2+y^2=4$? Il metodo che ho seguito io è quindi sbagliato?
Il ragionamento che hai fatto non è valido soltanto nel caso di intersezione tra due circonferenze? (e non di una corona circolare con una circonferenza)
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