Trasformazione dominio integrale triplo con coordinate cilindriche deformate
Ciao, mi sono imbattuto in questo integrale:
$$\int\int\int_A x(3+y)\ dxdydz$$
dove $$A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+z^2\leq 7,\ x\leq z^2+\frac{y^2}{4}\}$$
Ho pensato di risolverlo facendo la trasformazione in oggetto, ossia:
$$\begin{cases}
x &=3\rho\sin\theta\\
x &=2\rho\cos\theta\\
z&=h\end{cases}$$
Ma non è facile capire le limitazioni di $\theta$, $\rho$ e $h$ dalle disuguaglianze presenti nel dominio A.
Ho provato anche la trasformazione in coordinate sferiche e ellittiche ma ho sempre lo stesso problema.
Come dominio normale rispetto al piano xy non è possibile vederlo e quindi quale sarebbe la via d'uscita??
$$\int\int\int_A x(3+y)\ dxdydz$$
dove $$A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+z^2\leq 7,\ x\leq z^2+\frac{y^2}{4}\}$$
Ho pensato di risolverlo facendo la trasformazione in oggetto, ossia:
$$\begin{cases}
x &=3\rho\sin\theta\\
x &=2\rho\cos\theta\\
z&=h\end{cases}$$
Ma non è facile capire le limitazioni di $\theta$, $\rho$ e $h$ dalle disuguaglianze presenti nel dominio A.
Ho provato anche la trasformazione in coordinate sferiche e ellittiche ma ho sempre lo stesso problema.
Come dominio normale rispetto al piano xy non è possibile vederlo e quindi quale sarebbe la via d'uscita??
Risposte
Allora io lo risolverei scegliendo delle coordinate "cilindriche" simili a quelle scelte da te, però pensate per semplificare la seconda disuguaglianza , quindi sceglierei questo cambio di coordinate:
$$
\begin{cases}x=h \\ y=2\rho \sin \theta \\ z=\rho\cos\theta\end{cases}
$$
in questo modo l'insieme diventa
$$
A=\left\{(h,\rho,\theta)\in R\times R^+ \times (0,2\pi) \, : \, \frac{h^2}{9}+\rho^2<7 \, , \, h<\rho^2\right\}
$$
non essendoci vincoli su $\theta$ abbiamo che $0<\theta<2\pi$ , inoltre questo insieme lo puoi disegnare sul semipiano $h\rho$ ed è l'intersezione fra la metà superiore dell'area dell'ellisse $\frac{h^2}{9}+\rho^2=7 $ ed il semipiano "a sinistra" della parabola $\rho^2$ , questa descrizione funziona se scegli $h$ come ascissa e $\rho$ come ordinata.
In ogni caso indipendentemente dal disegno, possiamo capire gli estremi risolvendo le disuguaglianze.
La seconda disuguaglianza la possiamo risolvere come $\rho>\sqrt{x}$ (perché $\rho>0$) la quale impone automaticamente che $h\ge 0$, oppure la possiamo risolvere come $\rho \in R^+$ se $h<0$.
La prima la possiamo risolvere come $ \rho<\sqrt{7-\frac{h^2}{9}}$(perché $\rho>0$) la quale impone che $-3\sqrt{7}
Abbiamo quindi trovato che l'insieme si spezza in due domini normali uno caratterizzato da $0
Io ho risolto il primo e viene $2\pi(9*7^{3/2}-\frac{6}{5}*3^{5/2}*7^{5/4})$ il secondo in teoria dovrebbe essere più semplice.
Sono molti conti facili, quindi è facile incartarsi, buona fortuna
$$
\begin{cases}x=h \\ y=2\rho \sin \theta \\ z=\rho\cos\theta\end{cases}
$$
in questo modo l'insieme diventa
$$
A=\left\{(h,\rho,\theta)\in R\times R^+ \times (0,2\pi) \, : \, \frac{h^2}{9}+\rho^2<7 \, , \, h<\rho^2\right\}
$$
non essendoci vincoli su $\theta$ abbiamo che $0<\theta<2\pi$ , inoltre questo insieme lo puoi disegnare sul semipiano $h\rho$ ed è l'intersezione fra la metà superiore dell'area dell'ellisse $\frac{h^2}{9}+\rho^2=7 $ ed il semipiano "a sinistra" della parabola $\rho^2$ , questa descrizione funziona se scegli $h$ come ascissa e $\rho$ come ordinata.
In ogni caso indipendentemente dal disegno, possiamo capire gli estremi risolvendo le disuguaglianze.
La seconda disuguaglianza la possiamo risolvere come $\rho>\sqrt{x}$ (perché $\rho>0$) la quale impone automaticamente che $h\ge 0$, oppure la possiamo risolvere come $\rho \in R^+$ se $h<0$.
La prima la possiamo risolvere come $ \rho<\sqrt{7-\frac{h^2}{9}}$(perché $\rho>0$) la quale impone che $-3\sqrt{7}
Abbiamo quindi trovato che l'insieme si spezza in due domini normali uno caratterizzato da $0
Io ho risolto il primo e viene $2\pi(9*7^{3/2}-\frac{6}{5}*3^{5/2}*7^{5/4})$ il secondo in teoria dovrebbe essere più semplice.
Sono molti conti facili, quindi è facile incartarsi, buona fortuna
Forse si può semplificare ancora: se $B=\{(x,y,z) in RR^3 | x^2/9+y^2/4+z^2 <=7, x >= z^2+y^2/4 \}$, allora $A uu B $ è un dominio simmetrico rispetto al piano $yz $, mentre la funzione integranda è dispari rispetto a $x $, quindi
\[ \int \int \int_A x (3+y)dxdydz=-\int \int \int_B x (3+y)dxdydz \]
e quest'ultimo si calcola agevolmente perché $B$ è normale rispetto a $x $ (il vantaggio rispetto all'integrale su $A $ è che non dovrebbe esserci bisogno di spezzarlo in due...)
\[ \int \int \int_A x (3+y)dxdydz=-\int \int \int_B x (3+y)dxdydz \]
e quest'ultimo si calcola agevolmente perché $B$ è normale rispetto a $x $ (il vantaggio rispetto all'integrale su $A $ è che non dovrebbe esserci bisogno di spezzarlo in due...)
Ok, sono chiare entrambe le soluzioni. La prima in effetti prevede un bel pò di conti e per tale motivo stavo provando a ragionare con la soluzione proposta da @spugna. Ma non credo sia risolvibile perchè non riesco a scrivere il dominio in due variabili che rimane.
In particolare ottengo che
$$z^2+\frac{y^2}{4}\leq x\leq \sqrt{63-\frac{9y^2}{4}-9z^2}$$
E quindi posso scrivere:
$$-\int \int \int_B x (3+y)dxdydz=-\int\int_Ddydz\int_{z^2+\frac{y^2}{4}}^{\sqrt{63-\frac{9y^2}{4}-9z^2}}dx$$
dove $D$ dovrei ricavarlo dalla disequazione $$z^2+\frac{y^2}{4}\leq\sqrt{63-\frac{9y^2}{4}-9z^2}$$
ma la cosa non mi sembra fattibile...
In particolare ottengo che
$$z^2+\frac{y^2}{4}\leq x\leq \sqrt{63-\frac{9y^2}{4}-9z^2}$$
E quindi posso scrivere:
$$-\int \int \int_B x (3+y)dxdydz=-\int\int_Ddydz\int_{z^2+\frac{y^2}{4}}^{\sqrt{63-\frac{9y^2}{4}-9z^2}}dx$$
dove $D$ dovrei ricavarlo dalla disequazione $$z^2+\frac{y^2}{4}\leq\sqrt{63-\frac{9y^2}{4}-9z^2}$$
ma la cosa non mi sembra fattibile...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo