Trasformazione dominio integrale doppio
Ciao ragazzi,
ho il seguente integrale da svolgere
$$\int_D\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dxdy$$
dove $$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}:\ 0\leq y\leq x\quad xy\leq 1\leq x+y-1\}$$
è il dominio in rosso
Ho provato con il passaggio in coordinate polari ma vengono fuori integrali irrisolvibili.
Ho anche provato le seguenti parametrizzazioni
$$\begin{cases}
u=x+y\\
v=x-y\end{cases},\quad $$\begin{cases}
u=x\\
v=x+y\end{cases}$$
ma il problema è che non si semplifica il termine con la radice al denominatore e quindi ottengo nuovamente un integrale irrisolvibile. Come dovrei trovare la parametrizzazione corretta?
ho il seguente integrale da svolgere
$$\int_D\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dxdy$$
dove $$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}:\ 0\leq y\leq x\quad xy\leq 1\leq x+y-1\}$$
è il dominio in rosso
Ho provato con il passaggio in coordinate polari ma vengono fuori integrali irrisolvibili.
Ho anche provato le seguenti parametrizzazioni
$$\begin{cases}
u=x+y\\
v=x-y\end{cases},\quad $$\begin{cases}
u=x\\
v=x+y\end{cases}$$
ma il problema è che non si semplifica il termine con la radice al denominatore e quindi ottengo nuovamente un integrale irrisolvibile. Come dovrei trovare la parametrizzazione corretta?
Risposte
Utilizzando le coordinate polari, ottengo il seguente integrale:
$$\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos 2t\left(\frac{1}{\sqrt{(\sin t\cos t)^3}}-\frac{8}{(\sin t+\cos t)^3}\right)dt$$
che non riesco a risolvere nemmeno utilizzato le formule trigonometriche
$$\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos 2t\left(\frac{1}{\sqrt{(\sin t\cos t)^3}}-\frac{8}{(\sin t+\cos t)^3}\right)dt$$
che non riesco a risolvere nemmeno utilizzato le formule trigonometriche
Perché in polari?
Hai provato con:
\[
\begin{cases}
xy = u \\
\frac{y}{x} = v
\end{cases} \; ?
\]
P.S.: In generale, perché un cambiamento di variabili? Le formule di riduzione non funzionano?
Hai provato con:
\[
\begin{cases}
xy = u \\
\frac{y}{x} = v
\end{cases} \; ?
\]
P.S.: In generale, perché un cambiamento di variabili? Le formule di riduzione non funzionano?
Anche con la parametrizzazione da te suggerita, ottengo integrali non risolvibili. Infatti:
$$\begin{cases}
xy=u\\
\frac{y}{x}=v\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
x^2=\frac{u}{v}\\
y^2=u\cdot v\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
x=u^{1/2}v^{-1/2}\\
y=u^{1/2} v^{1/2}\end{cases}$$
con $u\in\left[\frac{4v}{(1+v)^2},1\right]$ e $v\in[0,1]$.
Dato che lo jacobiano risulta
$$J=\frac{1}{2v}$$
otteniamo che
$$\begin{eqnarray}
\iint_D\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dx dy&=& \int_0^1dv\int_{\frac{4v}{(1+v)^2}}^1\frac{\frac{u}{v}-uv}{\sqrt{\frac{u}{v}-uv}}\frac{1}{2v}\ du=...\\
&=&...\frac{1}{3}\int_0^1\frac{(1-v^2)\sqrt{v}}{v^2\sqrt{1+v^2}}\left(1-\sqrt{\frac{(4v)^3}{(1+v)^6}}\right)\ dv\end{eqnarray}$$
Procedendo con la scomposizione di questo integrale, vengono fuori altri integrali non risolvibili.
Con le formule di riduzione non mi risulta nemmeno possibile dato che
$$\int \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dx$$ o $$\int \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dy$$
non sono facilmente risolvibili
$$\begin{cases}
xy=u\\
\frac{y}{x}=v\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
x^2=\frac{u}{v}\\
y^2=u\cdot v\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
x=u^{1/2}v^{-1/2}\\
y=u^{1/2} v^{1/2}\end{cases}$$
con $u\in\left[\frac{4v}{(1+v)^2},1\right]$ e $v\in[0,1]$.
Dato che lo jacobiano risulta
$$J=\frac{1}{2v}$$
otteniamo che
$$\begin{eqnarray}
\iint_D\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dx dy&=& \int_0^1dv\int_{\frac{4v}{(1+v)^2}}^1\frac{\frac{u}{v}-uv}{\sqrt{\frac{u}{v}-uv}}\frac{1}{2v}\ du=...\\
&=&...\frac{1}{3}\int_0^1\frac{(1-v^2)\sqrt{v}}{v^2\sqrt{1+v^2}}\left(1-\sqrt{\frac{(4v)^3}{(1+v)^6}}\right)\ dv\end{eqnarray}$$
Procedendo con la scomposizione di questo integrale, vengono fuori altri integrali non risolvibili.
Con le formule di riduzione non mi risulta nemmeno possibile dato che
$$\int \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dx$$ o $$\int \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dy$$
non sono facilmente risolvibili
Ho provato con la sostituzione:
\[
\begin{cases}
u = x + y \\
v = x - y
\end{cases}
\]
e viene fuori un integrale semplice, se non ho sbagliato i conti.
Prova a postare i passaggi.
\[
\begin{cases}
u = x + y \\
v = x - y
\end{cases}
\]
e viene fuori un integrale semplice, se non ho sbagliato i conti.
Prova a postare i passaggi.
Pare che il problema adesso siano gli estremi di integrazione. Infatti non si ottiene un dominio normale:
$$\begin{cases}
u=x+y\\
v=x-y\end{cases}\ \Rightarrow \
\begin{cases}
x=\frac{u+v}{2}\\
y=\frac{u-v}{2}\end{cases}$$
Dalle limitazioni del dominio $D$ ottengo:
$$0\leq y\leq x\ \Rightarrow \ 0\leq\frac{u-v}{2}\leq\frac{u+v}{2}$$
ossia $$\begin{cases}
v\leq u\\
v\geq 0\end{cases} \ \Rightarrow \ 0\leq v\leq u$$
$$xy\leq 1\leq x+y-1\ \Rightarrow \ \frac{u^2-v^2}{4}\leq 1\leq u-1$$
ossia $$\begin{cases}
u\leq\sqrt{4+v^2}\\
u\geq 2\end{cases} \ \Rightarrow \ 2\leq u\leq \sqrt{4+v^2}$$
$$\begin{cases}
u=x+y\\
v=x-y\end{cases}\ \Rightarrow \
\begin{cases}
x=\frac{u+v}{2}\\
y=\frac{u-v}{2}\end{cases}$$
Dalle limitazioni del dominio $D$ ottengo:
$$0\leq y\leq x\ \Rightarrow \ 0\leq\frac{u-v}{2}\leq\frac{u+v}{2}$$
ossia $$\begin{cases}
v\leq u\\
v\geq 0\end{cases} \ \Rightarrow \ 0\leq v\leq u$$
$$xy\leq 1\leq x+y-1\ \Rightarrow \ \frac{u^2-v^2}{4}\leq 1\leq u-1$$
ossia $$\begin{cases}
u\leq\sqrt{4+v^2}\\
u\geq 2\end{cases} \ \Rightarrow \ 2\leq u\leq \sqrt{4+v^2}$$
Perché non è un dominio normale?
Se espliciti rispetto a $v$ la disuguaglianza $u^2 - v^2 <= 4$ tenendo presente che $v >=0$ trovi $ v >= sqrt(u^2 - 4)$.
Dunque il tuo dominio è quello normale all’asse $u$ con base l’intervallo $[2, +oo[$ e delimitato dai grafici di $alpha (u) = sqrt(u^2 - 4)$ e $beta(u) =u$.
Se espliciti rispetto a $v$ la disuguaglianza $u^2 - v^2 <= 4$ tenendo presente che $v >=0$ trovi $ v >= sqrt(u^2 - 4)$.
Dunque il tuo dominio è quello normale all’asse $u$ con base l’intervallo $[2, +oo[$ e delimitato dai grafici di $alpha (u) = sqrt(u^2 - 4)$ e $beta(u) =u$.
Chiaro! Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo