Trasformazione di coordinate e integrale su varietà

[Emar1]

Mi sto perdendo nella verifica di questa uguaglianza:

\[\int_{\partial B_r(\mathbf{x})} u = r^{n-1} \int_{\partial B_1(\mathbf{0})} u \circ \Phi \]
Con \(\Phi(\mathbf{z}) = \mathbf{x} + r\mathbf{z}\). Il significato geometrico mi è assolutamente chiaro.

Chiamando \(\sigma\) e \(\sigma'\) le parametrizzazioni rispettivamente di \(\partial B_r(\mathbf{x})\) e \(\partial B_1(\mathbf{0})\) ho pensato di applicare il noto teorema sul cambio di variabili come fosse un integrale su $RR^n$ e ho scritto:
\[\int_{\partial B_r(\mathbf{x})} u(\sigma) \ \mathrm{d}\sigma = \int_{\Phi^{-1}(\partial B_r(\mathbf{x})) = \partial B_1(\mathbf{0})} u(\Phi(\sigma')) |\det{\mathrm{D}\Phi}| \ \mathrm{d}\sigma' \]
La trasformazione è affine quindi \(\mathrm{D}\Phi = r\mathrm{I}_n\) da cui segue \(|\det{\mathrm{D}\Phi}| = r^n\). Mi ritrovo quindi con questa relazione:
\[\int_{\partial B_r(\mathbf{x})} u = r^{n} \int_{\partial B_1(\mathbf{0})} u \circ \Phi \]
dove mi manca un $r^{-1}$.

Il procedimento fatto mi conduce ad un risultato errato. Ciò non mi sorprende, quel determinante jacobiano "liscio" mi puzza. Alla fine ho trattato due integrali su varietà come semplici integrali multipli nello spazio...

Ci ho pensato un bel po' ma idee su come attaccare il problema non me ne sono venute Dalla teoria so trattare i cambi di parametro ma questo non mi sembra rientri. Sono sicuro che sto trascurando qualche composizione di funzioni.

La domanda è, come si conciliano gli integrali su varietà con i cambi di coordinate?

[Emar1]

Ok, mi sono trovato. Espongo qui. Indichiamo con \(B^n_R(\mathbf{x})\) la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ centrata in \(\mathbf{x}\) e con \(\partial B^n_R(\mathbf{x})\) la sua frontiera.

Mettiamoci nel caso semplice $n=2$, sia \(\mathbf{r}_1(t) := {}^t(\cos{t},\sin{t})\) la parametrizzazione della circonferenza unitaria nell'origine \(\partial B^2_1(\mathbf{0})\) e sia \(\mathbf{r}_2(t) := {}^t(x_1 + R\cos{t},x_2 + R\sin{t})\) la parametrizzazione della circonferenza \(\partial B^2_R(\mathbf{x})\) di raggio $R$ e centro in $\mathbf{x} = (x_1,x_2)$.
Si osserva che \(\mathbf{r}_2 = \Phi ( \mathbf{r}_1)\) con $\Phi$ definito come nel primo post.

Si ha per definizione:
\[\int_{\partial B^2_R(\mathbf{x})} u = \int_{[0,2\pi)} u(\mathbf{r}_2(t)) \ \| \dot{\mathbf{r}}_2(t) \| \ \mathrm{d}t\]
da cui:
\[ \int_{\partial B^2_R(\mathbf{x})} u = \int_{[0,2\pi)} u(\Phi ( \mathbf{r}_1)) \ \| \frac{d}{dt}\Phi ( \mathbf{r}_1) \| \ \mathrm{d}t\]
Per la chain rule: \( \frac{d}{dt}\Phi ( \mathbf{r}_1) = \mathrm{D}\Phi (\mathbf{r}_1)) \cdot \dot{\mathbf{r}}_1(t) = R \dot{\mathbf{r}}_1(t) \) da cui:
\[ \int_{\partial B^2_R(\mathbf{x})} u = R \int_{[0,2\pi)} u(\Phi ( \mathbf{r}_1)) \ \| \dot{\mathbf{r}}_1(t) \| \ \mathrm{d}t = R \int_{\partial B^2_1(\mathbf{0})} u \circ \Phi \]
In questo caso particolare torna.


Il caso generale si fa su questa falsariga. Ricordiamo che la misura di volume di una varietà ha la seguente espressione:
\[d\sigma = \sqrt{|\det{\mathrm{G}}|} d\mathbf{x}\]
dove $G$ è il tensore metrico. Nel caso di una varietà di dimensione $m$ immersa in $RR^n$ si ha (vedere qui):
\[G = {}^t(\mathrm{D}\mathbf{r})\mathrm{D}\mathbf{r}\]
che è una matrice $m \times m$.

Nel nostro caso abbiamo varietà di dimensione $m = n-1$. Facendo i conti si ha:
\[d\sigma_2 = \sqrt{|\det{[{}^t(\mathrm{D}\mathbf{r}_2)\mathrm{D}\mathbf{r}_2}]|} \ d\mathbf{x} = \sqrt{|\det{[{}^t(\mathrm{D}(\Phi ( \mathbf{r}_1)))\mathrm{D}(\Phi ( \mathbf{r}_1))}]|} \ d\mathbf{x} = \sqrt{|\det{[R^2 \cdot [{}^t(\mathrm{D}(\mathbf{r}_1))\mathrm{D}(\mathbf{r}_1)}]]|} \ d\mathbf{x} = \sqrt{R^{2(n-1)} \cdot |\det{[{}^t(\mathrm{D}(\mathbf{r}_1))\mathrm{D}(\mathbf{r}_1)}]|} \ d\mathbf{x} =R^{n-1} d\sigma_1\]
che il risultato cercato.

L'intuizione di ieri era giusta, il fattore di scala non era il jacobiano di $\Phi$ ma coinvolgeva la il tensore metrico della varietà.