Trasformazione di coordinate
Ciao ragazzi,
Ho una domanda. Consideriamo un dominio 2D sul quale é definito un campo di velocitá
\( \textbf{U} \)$(x,y)= (U(x,y),V(x,y))$. L'angolo formato dalle componenti $U$ e $V$ é dato da
$\theta(x,y) = \arctg(\frac{V(x,y)}{U(x,y)})$
e tale angolo denota la direzione delle linee di flusso (ossia la direzione di \( \textbf{U} \)$(x,y)$).
Ció a cui io sono interessato, é definire un nuovo sistema di riferimento dove il 'nuovo' asse delle ordinate sia allineato con queste linee di flusso.
Per esempio, se assumiamo $\theta$ costante, allora il sistema di riferimento da me cercato é banalmente
$x' = x \cos(theta) - y \sin(\theta)$
$y' = x \sin(theta) + y \cos(\theta)$
Se peró $\theta=\theta(x,y)$, quale trasformazione devo utilizzare? come la ricavo?
Qualsiasi spunto, link, aiuto é molto bene accetto. Grazie mille.
Ho una domanda. Consideriamo un dominio 2D sul quale é definito un campo di velocitá
\( \textbf{U} \)$(x,y)= (U(x,y),V(x,y))$. L'angolo formato dalle componenti $U$ e $V$ é dato da
$\theta(x,y) = \arctg(\frac{V(x,y)}{U(x,y)})$
e tale angolo denota la direzione delle linee di flusso (ossia la direzione di \( \textbf{U} \)$(x,y)$).
Ció a cui io sono interessato, é definire un nuovo sistema di riferimento dove il 'nuovo' asse delle ordinate sia allineato con queste linee di flusso.
Per esempio, se assumiamo $\theta$ costante, allora il sistema di riferimento da me cercato é banalmente
$x' = x \cos(theta) - y \sin(\theta)$
$y' = x \sin(theta) + y \cos(\theta)$
Se peró $\theta=\theta(x,y)$, quale trasformazione devo utilizzare? come la ricavo?
Qualsiasi spunto, link, aiuto é molto bene accetto. Grazie mille.
Risposte
La cosa piú intuitiva che mi é venuta in mente é scrivere la seguente trasformazione per $\theta=\theta(x,y)$:
$x' = \int_0^x \cos(\theta(x,y)) dx - \int_0^y \sin(\theta(x,y)) dy $
$y' = \int_0^x \sin(\theta(x,y)) dx + \int_0^y \cos(\theta(x,y)) dy $
Se $\theta$ é costante, allora tale trasformazione si riduce a
$x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta)$
$y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)$
che é la banale rotazione degli assi di un angolo pari a $\theta$.
Ho verificato tale trasformazione (per via numerica) con $\theta = ax$ con $a \in \mathbb{R}$ e funziona perfettamente. Penso di poter concludere che sia corretta.
Tuttavia, non ho idea del come la si ricavi matematicamente, in maniera rigorosa. Qualche idea? Grazie in anticipo.
$x' = \int_0^x \cos(\theta(x,y)) dx - \int_0^y \sin(\theta(x,y)) dy $
$y' = \int_0^x \sin(\theta(x,y)) dx + \int_0^y \cos(\theta(x,y)) dy $
Se $\theta$ é costante, allora tale trasformazione si riduce a
$x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta)$
$y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)$
che é la banale rotazione degli assi di un angolo pari a $\theta$.
Ho verificato tale trasformazione (per via numerica) con $\theta = ax$ con $a \in \mathbb{R}$ e funziona perfettamente. Penso di poter concludere che sia corretta.
Tuttavia, non ho idea del come la si ricavi matematicamente, in maniera rigorosa. Qualche idea? Grazie in anticipo.
Ciao ragazzi,
Nessun idea di come procedere? Se non sono stato chiaro, ditemelo pure.
Senza parlare di linee di flusso, etc.., si tratta di una 'semplice' rotazione degli assi coordinati di un angolo $\theta$ che anziché essere costante, varia al variare di $x$ e $y$. Non trovo niente da nessuna parte a riguardo, ma probabilmente sbaglio la direzione di ricerca.
Grazie.
Nessun idea di come procedere? Se non sono stato chiaro, ditemelo pure.
Senza parlare di linee di flusso, etc.., si tratta di una 'semplice' rotazione degli assi coordinati di un angolo $\theta$ che anziché essere costante, varia al variare di $x$ e $y$. Non trovo niente da nessuna parte a riguardo, ma probabilmente sbaglio la direzione di ricerca.
Grazie.
La trasformazione con $theta = theta(x,y)$ mi pare vada benissimo.
Grazie per la risposta Gugo.
Immagino che sia corretta in quanto l'ho verificato per via numerica. Ció che non riesco a capire é come si passi in maniera formale dalla trasformazione con $\theta$ costante alla trasformazione con $\theta$ variabile.
Perché si deve integrare? Perché la trasformazione
$x' = x \cos(\theta(x,y)) - y\sin(\theta(x,y))$
$y' = x \sin(\theta(x,y)) + y\cos(\theta(x,y))$
é sbagliata?
Sono questi i dubbi che mi rimangono.
Immagino che sia corretta in quanto l'ho verificato per via numerica. Ció che non riesco a capire é come si passi in maniera formale dalla trasformazione con $\theta$ costante alla trasformazione con $\theta$ variabile.
Perché si deve integrare? Perché la trasformazione
$x' = x \cos(\theta(x,y)) - y\sin(\theta(x,y))$
$y' = x \sin(\theta(x,y)) + y\cos(\theta(x,y))$
é sbagliata?
Sono questi i dubbi che mi rimangono.
Infatti non credo sia sbagliata... Quella con gli integrali l'avevo proprio scartata.
Eppure é sbagliata. L'asse delle ascisse del nuove sistema di coordinate (x',y') non segue le linee di flusso. Al contrario, se uso la trasformazione con gli integrali, tutto funziona perfettamente...
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