Trasformate di Legendre
Ciao a tutti,
torno a scrivere sul forum dopo essermi imbattuto nello studio dei Potenziali Termodinamici in Fisica Tecnica. Per ricavare tali potenziali, vengono usate le cosiddette "Trasformate di Legendre". Sarei contento se qualcuno di voi mi spiegasse qual è il senso di tali trasformate, e poi come passare all'atto pratico, ossia come calcolarle (sia nel caso monodimensionale che multidimensionale).
Grazie in anticipo!
torno a scrivere sul forum dopo essermi imbattuto nello studio dei Potenziali Termodinamici in Fisica Tecnica. Per ricavare tali potenziali, vengono usate le cosiddette "Trasformate di Legendre". Sarei contento se qualcuno di voi mi spiegasse qual è il senso di tali trasformate, e poi come passare all'atto pratico, ossia come calcolarle (sia nel caso monodimensionale che multidimensionale).
Grazie in anticipo!
Risposte
Di solito ho sentito chiamare trasformata di Legendre quella che di solito è detta anche "polare di una funzione".
Non so se ti riferisci a questo, ma faccio un tentativo.
Sia [tex]f:\mathbb{R} \to\mathbb{R}[/tex] e, per fissato [tex]p\in \mathbb{R}[/tex], poniamo:
[tex]f^\star (p) := \sup_{x\in \mathbb{R}} p\cdot x-f(x) \; .[/tex]
La funzione [tex]f^\star :\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] è detta polare (o trasformata di Legendre) di [tex]f[/tex].
Il significato geometrico del valore [tex]f^\star (p)[/tex] è evidente: infatti scelto [tex]-q \geq f^\star (p)[/tex], per definizione, per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] si ha:
[tex]-q\geq f^\star (p) \geq p\cdot x-f(x) \Leftrightarrow f(x)\geq p\cdot x-f^\star (p)\geq p\cdot x+q[/tex]
e la disuguaglianza a secondo membro vuol dire che la retta d'equazione [tex]p\cdot x+q[/tex] sta tutta sotto ad [tex]p\cdot x-f^\star (p)[/tex], che a sua volta sta tutta sotto al grafico della funzione [tex]f(x)[/tex]; d'altra parte, se si prende [tex]-q
[tex]-q < p\cdot \bar{x}-f(\bar{x}) \Leftrightarrow f(\bar{x})< p\cdot \bar{x} +q[/tex]
cosicché la retta d'equazione [tex]p\cdot x+q[/tex] non sta tutta sotto al grafico di [tex]f(x)[/tex].
Pertanto [tex]-f^\star (p)[/tex] è il più grande termine noto che posso affiancare a [tex]p\cdot x[/tex] per ottenere l'equazione di una retta posizionata tutta sotto al grafico di [tex]f(x)[/tex].
Esempio di calcolo: prendiamo [tex]f(x):=x^2[/tex] e calcoliamo [tex]f^\star (p)[/tex].
Fissiamo [tex]p\in \mathbb{R}[/tex] e formiamo la funzione ausiliaria [tex]\varphi(p;x):=px-f(x)=px-x^2[/tex]; per determinare [tex]f^\star (p)[/tex] basta provare che [tex]\varphi(p;x)[/tex] ha massimo risp. a [tex]x\in \mathbb{R}[/tex]: con metodi classici di Calcolo Differenziale troviamo:
[tex]\frac{\text{d}}{\text{d}x}\varphi (p;x)=p-2x\geq 0 \Leftrightarrow x\leq \frac{p}{2}[/tex]
perciò [tex]\varphi (p;x)[/tex] è dotata di massimo assoluto in [tex]\mathbb{R}[/tex] e si trova:
[tex]f^\star (p) =\max_{x\in \mathbb{R}} \varphi (p;x)=\varphi (p;\frac{p}{2}) =p\cdot \frac{p}{2}-(\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4} \; .[/tex]
Ne consegue che la polare di [tex]f(x):=x^2[/tex] è [tex]f^\star (p)=\frac{p^2}{4}[/tex].
Ulteriori informazioni le trovi qui.
Non so se ti riferisci a questo, ma faccio un tentativo.
Sia [tex]f:\mathbb{R} \to\mathbb{R}[/tex] e, per fissato [tex]p\in \mathbb{R}[/tex], poniamo:
[tex]f^\star (p) := \sup_{x\in \mathbb{R}} p\cdot x-f(x) \; .[/tex]
La funzione [tex]f^\star :\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] è detta polare (o trasformata di Legendre) di [tex]f[/tex].
Il significato geometrico del valore [tex]f^\star (p)[/tex] è evidente: infatti scelto [tex]-q \geq f^\star (p)[/tex], per definizione, per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] si ha:
[tex]-q\geq f^\star (p) \geq p\cdot x-f(x) \Leftrightarrow f(x)\geq p\cdot x-f^\star (p)\geq p\cdot x+q[/tex]
e la disuguaglianza a secondo membro vuol dire che la retta d'equazione [tex]p\cdot x+q[/tex] sta tutta sotto ad [tex]p\cdot x-f^\star (p)[/tex], che a sua volta sta tutta sotto al grafico della funzione [tex]f(x)[/tex]; d'altra parte, se si prende [tex]-q
[tex]-q < p\cdot \bar{x}-f(\bar{x}) \Leftrightarrow f(\bar{x})< p\cdot \bar{x} +q[/tex]
cosicché la retta d'equazione [tex]p\cdot x+q[/tex] non sta tutta sotto al grafico di [tex]f(x)[/tex].
Pertanto [tex]-f^\star (p)[/tex] è il più grande termine noto che posso affiancare a [tex]p\cdot x[/tex] per ottenere l'equazione di una retta posizionata tutta sotto al grafico di [tex]f(x)[/tex].
Esempio di calcolo: prendiamo [tex]f(x):=x^2[/tex] e calcoliamo [tex]f^\star (p)[/tex].
Fissiamo [tex]p\in \mathbb{R}[/tex] e formiamo la funzione ausiliaria [tex]\varphi(p;x):=px-f(x)=px-x^2[/tex]; per determinare [tex]f^\star (p)[/tex] basta provare che [tex]\varphi(p;x)[/tex] ha massimo risp. a [tex]x\in \mathbb{R}[/tex]: con metodi classici di Calcolo Differenziale troviamo:
[tex]\frac{\text{d}}{\text{d}x}\varphi (p;x)=p-2x\geq 0 \Leftrightarrow x\leq \frac{p}{2}[/tex]
perciò [tex]\varphi (p;x)[/tex] è dotata di massimo assoluto in [tex]\mathbb{R}[/tex] e si trova:
[tex]f^\star (p) =\max_{x\in \mathbb{R}} \varphi (p;x)=\varphi (p;\frac{p}{2}) =p\cdot \frac{p}{2}-(\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4} \; .[/tex]
Ne consegue che la polare di [tex]f(x):=x^2[/tex] è [tex]f^\star (p)=\frac{p^2}{4}[/tex].
Ulteriori informazioni le trovi qui.
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