Trasformata zeta per equazioni ricorrenti

[kate-sweet]

ho la seguente equazione ricorrente=

$y(n+2)+y(n+1)+y(n)=$...secondo membro non mi interessa
con valori iniziali $y(0)=2$ e $y(1)=-3$

allora,operando la zeta trasformata mi viene=

$(z^2+z+1)Y - 2z^2+3z-2z$ (del primo membro ovviamente)
io ci arrivo fino all'espressione tra parentesi ma non capisco da dove viene fuori quel $- 2z^2+3z-2z$ ...
e provando a fare altri esercizi simili trovo sempre difficoltà in questa cosa...che poi alla fine è una formula...ma non riesco a capire come si usa

[kate-sweet]

ragazzi nessuno sa aiutarmi?

[gugo82]

Viene fuori dalla regola della traslazione e dalle condizioni iniziali.
Questo dovrebbe essere un fatto notissimo dalla teoria, e mi meraviglio davvero che tu non l'abbia mai incrociato.

Infatti, trasformando la \(k\)-traslata della successione unilatera \(y(n)\) si trova:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[y(n+k)](z) &:= \sum_{n=0}^\infty \frac{y(n+k)}{z^n}\\
&= z^k\ \sum_{n=0}^\infty \frac{y(n+k)}{z^{n+k}}\\
&= z^k\ \sum_{n=k}^\infty \frac{y(n)}{z^n}\\
&= z^k\ \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{y(n)}{z^n} - y(0)-\frac{y(1)}{z}-\cdots -\frac{y(k-1)}{z^{k-1}}\right)\\
&= z^k\ Y(z) - \sum_{n=0}^{k-1} y(n)\ z^{k-n}\; .
\end{split}
\]

[kate-sweet]

se tu vedessi come è scritta la formula sugli appunti del prof la tua meraviglia andrebbe all'infinito
grazie...ma non capisco l'ultimo termine ovvero $-2z$ da dove esce...