Trasformata Zeta di una successione
Salve a tutti....
volevo sapere una cosa
ho calcolato la trasf. zeta della successione $a(n)$ così definita:
$ 0 $ con$ n=3k $
$ 1 $ con $n=3k+1$
$ -1 $ con $n=3k+2>
La trasformata mi è venuta (1-z^2)/z
E' giusto il risultato??
Grazie mille
volevo sapere una cosa
ho calcolato la trasf. zeta della successione $a(n)$ così definita:
$ 0 $ con$ n=3k $
$ 1 $ con $n=3k+1$
$ -1 $ con $n=3k+2>
La trasformata mi è venuta (1-z^2)/z
E' giusto il risultato??
Grazie mille
Risposte
La trasformata che ottieni non mi pare corretta.
Per il calcolo basta usare la definizione, spezzare la somma (una volta constatato che la serie converge) e tenere presente che [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} w^k=\frac{1}{1-w}[/tex] per [tex]$|w|<1$[/tex]:
[tex]$\mathbb{Z}[a(n)](z):=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(n)}{z^n}$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(3k)}{z^3k} +\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(3k+1)}{z^{3k+1}} +\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(3k+2)}{z^{3k+2}}$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{z^{3k+1}} -\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{z^{3k+2}}$[/tex]
[tex]$= \frac{1}{z}\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{z^3}\right)^k -\frac{1}{z^2}\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{z^3}\right)^k$[/tex]
[tex]$=\left( \frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}\right)\ \frac{1}{1-\frac{1}{z^3}} $[/tex]
e ti lascio gli ultimi conti.
Per il calcolo basta usare la definizione, spezzare la somma (una volta constatato che la serie converge) e tenere presente che [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} w^k=\frac{1}{1-w}[/tex] per [tex]$|w|<1$[/tex]:
[tex]$\mathbb{Z}[a(n)](z):=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(n)}{z^n}$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(3k)}{z^3k} +\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(3k+1)}{z^{3k+1}} +\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(3k+2)}{z^{3k+2}}$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{z^{3k+1}} -\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{z^{3k+2}}$[/tex]
[tex]$= \frac{1}{z}\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{z^3}\right)^k -\frac{1}{z^2}\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{z^3}\right)^k$[/tex]
[tex]$=\left( \frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}\right)\ \frac{1}{1-\frac{1}{z^3}} $[/tex]
e ti lascio gli ultimi conti.
ok e invece la trasformata della successione $a(n)$ definita:
$0$ con n pari
$(sqrt(2))^n$ con n dispari
dovrebbe essere $(sqrt(2))^n z/(z^2-1)$
Anzi dovrebbe essere $z/(z-sqrt(2))$
E' giusto?
$0$ con n pari
$(sqrt(2))^n$ con n dispari
dovrebbe essere $(sqrt(2))^n z/(z^2-1)$
Anzi dovrebbe essere $z/(z-sqrt(2))$
E' giusto?
Ma siamo sempre lì...
Se hai capito il trucco e conosci la somma della serie geometrica fai subito a controllare.
Infatti:
[tex]$\mathcal{Z}[a(n)](z)=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\sqrt{2}}{z^2}\right)^n$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z}\ \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{z^2}}$[/tex]
[tex]$=\frac{z}{z^2-\sqrt{2}}$[/tex].
Se hai capito il trucco e conosci la somma della serie geometrica fai subito a controllare.
Infatti:
[tex]$\mathcal{Z}[a(n)](z)=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\sqrt{2}}{z^2}\right)^n$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z}\ \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{z^2}}$[/tex]
[tex]$=\frac{z}{z^2-\sqrt{2}}$[/tex].
non mi trovo perchè facendo l'antitrasformata non ottengo la successione di partenza...inoltre il risultato credo dovrebbe essere $z/(z-sqrt(2))$ perchè ho applicato la proprietà della trasformata zeta che dice che la trasf di $a^n*u(n)$ è uguale a $z/(z-a)$ dove $u(n)$ è il gradino unitario...
E certo, perchè le proprietà vanno applicate a caso, no?
Guarda bene che in una successione del tipo [tex]$a^n \text{u}(n)=(1,a,a^2,a^3,a^4,\ldots , a^n, \ldots)$[/tex] non ci sono zeri, mentre tu hai una successione del tipo:
[tex]$a(n):=(0,1,0,\sqrt{2},0,2,0,\ldots ,0, (\sqrt{2})^{2k+1},0,(\sqrt{2})^{2k+3},\ldots)$[/tex]
in cui gli zeri abbondano...
Insomma, va bene applicare le trasformate notevoli, ma almeno fallo con criterio.
Guarda bene che in una successione del tipo [tex]$a^n \text{u}(n)=(1,a,a^2,a^3,a^4,\ldots , a^n, \ldots)$[/tex] non ci sono zeri, mentre tu hai una successione del tipo:
[tex]$a(n):=(0,1,0,\sqrt{2},0,2,0,\ldots ,0, (\sqrt{2})^{2k+1},0,(\sqrt{2})^{2k+3},\ldots)$[/tex]
in cui gli zeri abbondano...
Insomma, va bene applicare le trasformate notevoli, ma almeno fallo con criterio.
e allora non va bene applicare la regola?
Se non va bene mi mostreresti i passaggi che hai fatto prima...perchè alcuni non li ho capiti....grazie mille gugo
Se non va bene mi mostreresti i passaggi che hai fatto prima...perchè alcuni non li ho capiti....grazie mille gugo
Nonè che non va bene applicare la regola... Una regola va applicata quando si può applicare; in questo caso, non si può applicare perchè la tua [tex]$a(n)$[/tex] non è nella forma [tex]$a^n \text{u}(n)$[/tex], punto.
I passaggi sono sempre gli stessi: uso della definizione e della serie geometrica.
Te li riporto, perchè mi sono accorto di aver fatto un piccolo errore i calcolo (il che ti insegna anche a non prendere per oro colato ciò che scrivo
): la successione è:
[tex]$a(n):=\begin{cases} 0 &\text{, se $n=2k$} \\ (\sqrt{2})^{2k+1} &\text{, se $n=2k+1$} \end{cases}$[/tex]
quindi:
[tex]$\mathcal{Z}[a(n)](z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(n)}{z^n} $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(2k)}{z^{2k}}+ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(2k+1)}{z^{2k+1}} $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\sqrt{2})^{2k+1}}{z^{2k+1}} $[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}}{z} \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{\sqrt{2}}{z}\right)^{2k}$[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}}{z} \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{2}{z^2}\right)^k$[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}}{z}\ \frac{1}{1-\frac{2}{z^2}}$[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}\ z}{z^2-2}$[/tex].
I passaggi sono sempre gli stessi: uso della definizione e della serie geometrica.
Te li riporto, perchè mi sono accorto di aver fatto un piccolo errore i calcolo (il che ti insegna anche a non prendere per oro colato ciò che scrivo
): la successione è:[tex]$a(n):=\begin{cases} 0 &\text{, se $n=2k$} \\ (\sqrt{2})^{2k+1} &\text{, se $n=2k+1$} \end{cases}$[/tex]
quindi:
[tex]$\mathcal{Z}[a(n)](z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(n)}{z^n} $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(2k)}{z^{2k}}+ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a(2k+1)}{z^{2k+1}} $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\sqrt{2})^{2k+1}}{z^{2k+1}} $[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}}{z} \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{\sqrt{2}}{z}\right)^{2k}$[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}}{z} \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{2}{z^2}\right)^k$[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}}{z}\ \frac{1}{1-\frac{2}{z^2}}$[/tex]
[tex]$=\frac{\sqrt{2}\ z}{z^2-2}$[/tex].
allora anche se voglio fare la trasformata zeta di $sin(pi/4*n)$ non posso usare la regola....sempre per il fatto degli zeri.....
se non posso farla devo procedere sempre come prima??
Mi potresti dare almeno un input??
Grazie mille
se non posso farla devo procedere sempre come prima??
Mi potresti dare almeno un input??
Grazie mille
Mi rispondo da solo....in questo caso posso usare la trasformata notevole perchè se trasformo il seno con la formula di Eulero l'esponenziale non ha zeri....poi magari potrei aver detto una sciocchezza ma non credo....
Grazie mille per l'aiuto gugo
Grazie mille per l'aiuto gugo
Ma siamo sempre più o meno lì...
Se usi gli esponenziali viene quasi immediata. Bene.
Se non vuoi usarli, scrivi un po' quella successione per esteso, renditi conto che è periodica, e sfrutta questo fatto per spezzare la somma che definisce la trasformata Z; poi somma le varie serie sfruttando la serie geometrica ed hai finito.
Se usi gli esponenziali viene quasi immediata. Bene.
Se non vuoi usarli, scrivi un po' quella successione per esteso, renditi conto che è periodica, e sfrutta questo fatto per spezzare la somma che definisce la trasformata Z; poi somma le varie serie sfruttando la serie geometrica ed hai finito.
Meglio scriverla in forma esponenziale....viene piu immediata ed è quindi anche piu facile da usare...devo cercare di abbreviare i tempi di svolgimento degli esercizi visto che a breve ho l'esame...
Seguendo i tuo consigli ho fatto la trasf zeta della successione che fa
$1$ quando n è pari
$2$ quando n è dispari
e mi è venuto che la trasformata è $((z^2)/(z^2-1)(1+2/z))$
E' giusta almeno questa?
$1$ quando n è pari
$2$ quando n è dispari
e mi è venuto che la trasformata è $((z^2)/(z^2-1)(1+2/z))$
E' giusta almeno questa?
Ok! 
Scritta un po' meglio è [tex]$\frac{z(2+z)}{z^2-1}$[/tex].
Scritta un po' meglio è [tex]$\frac{z(2+z)}{z^2-1}$[/tex].
Wow....mi sono emozionato....grazie gugo
scusate se chiedo di nuovo la stessa cosa...
potrei sapere se il risultato della trasf zeta della successione che fa
$1$ se $n=0,1$
$1/3^n$ se $n>=2$
è $2/(3z)+(3z)/(3z-1)$
Grazie in anticipo
potrei sapere se il risultato della trasf zeta della successione che fa
$1$ se $n=0,1$
$1/3^n$ se $n>=2$
è $2/(3z)+(3z)/(3z-1)$
Grazie in anticipo
Postassi il procedimento te ne sarei grato...
$Z(a(n))=sum_{n=0}^oo an z^(-n)=1+1/z+sum_{n=2}^oo 1/(3z)^n= 1+1/z+sum_{n=0}^oo 1/(3z)^n - a(0)-(a(1))/z= 1+1/z+(3z)/(3z-1)- 1- 1/(3z)= 2/(3z)+ (3z)/(3z-1) $
Qualcuno mi può confermare che il risultato di quella trasformata zeta è esatto??
Grazie mille
Grazie mille
Beh, pare proprio di sì. :
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