Trasformata Zeta
Se ho un segnale $u(h)=hdelta_(-1)(h)$, la sua trasformata Zeta è $z/(z-1)^2$?
Grazie.
Grazie.
Risposte
Se con $delta_(-1)$ intendi la funzione gradino, la risposta è sì.
Si, si tratta del gradino unitario.
Propongo allora un esercizio e la soluzione per verificarne la correttezza.
Calcolare l'uscita $y(k)$ del sistema descritto dalla seguente equazione alle differenze: $2v(k)+5v(k-1)+2v(k-2)=u(k)+2u(k-1)$ con $u(k)=delta_(-1)(k)$ e condizioni iniziali $v(-1)=-2$, $v(-2)=4$. Discutere la stabilità del sistema.
Applico la trasformata Zeta ed ottengo: $2V(z)+5(z^(-1)V(z)-2)+2(z^(-2)V(z)+4)=U(z)+2z^(-1)U(z)$.
Moltiplico il tutto per $z^2$ e dopo qualche passaggio trovo la funzione di trasferimento $H(z)=(z^2+2z)/(2z^2+5z+2)U(z)+(2z^2)/(2z^2+5z+2)$. Qui riconosco l'evoluzione forzata del sistema (primo termine) e l'evoluzione libera del sistema (secondo termine), le studio separatamente.
$V_l(z)=(2z^2)/((z+1/2)(z+2))$ da cui $V_(l1)(z)=V_l(z)/z=(2z)/((z+1/2)(z+2))=(C1)/(z+1/2)+(C2)/(z+2)$. Trovo che $C1=-2/3$ e $C2=8/3$.
Antitrasformando ottengo che $v_l(k)=[-2/3(-0.5)^k+8/3(-2)^k]delta_(-1)(k)$.
Passiamo ora allo studio dell'evoluzione forzata, so che $Z[u(k)]=Z[delta_(-1)(k)]=z/(z-1)$.
Allora $V_f(z)=(z(z^2+2z))/((z+1/2)(z+2)(z-1))$ da cui $V_(f1)(z)=V_f(z)/z=(z^2+2z)/((z+1/2)(z+2)(z-1))=(C1)/(z+1/2)+(C2)/(z+2)+(C3)/(z-1)$. Trovo che $C1=1/6$, $C2=0$ e $C3=2/3$.
Antitrasformando ottengo che $v_f(k)=[1/6(-0.5)^k+2/3]delta_(-1)(k).
Avrei bisogno di sapere se la risoluzione è corretta, grazie mille!
Propongo allora un esercizio e la soluzione per verificarne la correttezza.
Calcolare l'uscita $y(k)$ del sistema descritto dalla seguente equazione alle differenze: $2v(k)+5v(k-1)+2v(k-2)=u(k)+2u(k-1)$ con $u(k)=delta_(-1)(k)$ e condizioni iniziali $v(-1)=-2$, $v(-2)=4$. Discutere la stabilità del sistema.
Applico la trasformata Zeta ed ottengo: $2V(z)+5(z^(-1)V(z)-2)+2(z^(-2)V(z)+4)=U(z)+2z^(-1)U(z)$.
Moltiplico il tutto per $z^2$ e dopo qualche passaggio trovo la funzione di trasferimento $H(z)=(z^2+2z)/(2z^2+5z+2)U(z)+(2z^2)/(2z^2+5z+2)$. Qui riconosco l'evoluzione forzata del sistema (primo termine) e l'evoluzione libera del sistema (secondo termine), le studio separatamente.
$V_l(z)=(2z^2)/((z+1/2)(z+2))$ da cui $V_(l1)(z)=V_l(z)/z=(2z)/((z+1/2)(z+2))=(C1)/(z+1/2)+(C2)/(z+2)$. Trovo che $C1=-2/3$ e $C2=8/3$.
Antitrasformando ottengo che $v_l(k)=[-2/3(-0.5)^k+8/3(-2)^k]delta_(-1)(k)$.
Passiamo ora allo studio dell'evoluzione forzata, so che $Z[u(k)]=Z[delta_(-1)(k)]=z/(z-1)$.
Allora $V_f(z)=(z(z^2+2z))/((z+1/2)(z+2)(z-1))$ da cui $V_(f1)(z)=V_f(z)/z=(z^2+2z)/((z+1/2)(z+2)(z-1))=(C1)/(z+1/2)+(C2)/(z+2)+(C3)/(z-1)$. Trovo che $C1=1/6$, $C2=0$ e $C3=2/3$.
Antitrasformando ottengo che $v_f(k)=[1/6(-0.5)^k+2/3]delta_(-1)(k).
Avrei bisogno di sapere se la risoluzione è corretta, grazie mille!
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