Trasformata zeta
Calcolare la trasformata zeta della sequenza:
$x[n]=a^{n}u[n]+b^{n}u[-n-1]$, $|b|>|a|$ ($u[n]$ è la sequenza gradino unitario)
Sulle slide essa risulta:
$X(z)=\frac{[2z-(a+b)z]}{(z-a)(z-b)}, |a|<|z|<|b|$
Ma il risultato non mi convince. Tale risultato a me viene solo se fosse stato $x[n]=a^{n}u[n]-b^{n}u[-n-1]$, $|b|>|a|$.
Siete d'accordo?
$x[n]=a^{n}u[n]+b^{n}u[-n-1]$, $|b|>|a|$ ($u[n]$ è la sequenza gradino unitario)
Sulle slide essa risulta:
$X(z)=\frac{[2z-(a+b)z]}{(z-a)(z-b)}, |a|<|z|<|b|$
Ma il risultato non mi convince. Tale risultato a me viene solo se fosse stato $x[n]=a^{n}u[n]-b^{n}u[-n-1]$, $|b|>|a|$.
Siete d'accordo?
Risposte
Trasformata \(\mathcal{Z}\) bilatera, immagino.
Beh, allora la definizione ti aiuta parecchio.
Infatti:
\[
\begin{split}
X(z) &:= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{x(n)}{z^n}\\
&= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{a^n \operatorname{u}(n)}{z^n} + \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{b^n \operatorname{u}(-n-1)}{z^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z^n} + \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{b^n}{z^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{b^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{b}\right)^n
\end{split}
\]
con la prima serie convergente per \(|z|>|a|\) e la seconda per \(|z|<|b|\); conseguentemente la RdC è \(|a|<|z|<|b|\) e la trasformata si ottiene sommando due serie geometriche (alla seconda manca il primo termine!), cosicché:
\[
\begin{split}
X(z) &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{b}\right)^n\\
&= \frac{1}{1-\frac{a}{z}} + \left( \frac{1}{1-\frac{z}{b}} -1\right)\\
&= \frac{z}{z-a} + \frac{b}{b-z} -1\\
&= \frac{z\ (b-z) + b\ (z-a)- (z-a)\ (b-z)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{a\ (b-z) + b\ (z-a)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{(b-a)\ z}{(z-a)\ (b-z)}
\end{split}
\]
se non erro.
Beh, allora la definizione ti aiuta parecchio.
Infatti:
\[
\begin{split}
X(z) &:= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{x(n)}{z^n}\\
&= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{a^n \operatorname{u}(n)}{z^n} + \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{b^n \operatorname{u}(-n-1)}{z^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z^n} + \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{b^n}{z^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{b^n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{b}\right)^n
\end{split}
\]
con la prima serie convergente per \(|z|>|a|\) e la seconda per \(|z|<|b|\); conseguentemente la RdC è \(|a|<|z|<|b|\) e la trasformata si ottiene sommando due serie geometriche (alla seconda manca il primo termine!), cosicché:
\[
\begin{split}
X(z) &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{b}\right)^n\\
&= \frac{1}{1-\frac{a}{z}} + \left( \frac{1}{1-\frac{z}{b}} -1\right)\\
&= \frac{z}{z-a} + \frac{b}{b-z} -1\\
&= \frac{z\ (b-z) + b\ (z-a)- (z-a)\ (b-z)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{a\ (b-z) + b\ (z-a)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{(b-a)\ z}{(z-a)\ (b-z)}
\end{split}
\]
se non erro.
Esattamente.
Invece se svolgo i calcoli con $x[n]=a^{n}u[n]-b^{n}u[-n-1]$
ottengo proprio il risultato del libro, pertanto deve esserci un errore di stampa
Invece se svolgo i calcoli con $x[n]=a^{n}u[n]-b^{n}u[-n-1]$
ottengo proprio il risultato del libro, pertanto deve esserci un errore di stampa
Beh, basta modificare le ultime due righe del conto precedente:
\[
\begin{split}
X(z) &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{b}\right)^n\\
&= \frac{1}{1-\frac{a}{z}} - \left( \frac{1}{1-\frac{z}{b}} -1\right)\\
&= \frac{z}{z-a} - \frac{b}{b-z} +1\\
&= \frac{z\ (b-z) - b\ (z-a) + (z-a)\ (b-z)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{z\ (b-z) - z\ (z-a)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{(b+a-2z)\ z}{(z-a)\ (b-z)} \end{split}
\]
se non erro.
\[
\begin{split}
X(z) &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{b}\right)^n\\
&= \frac{1}{1-\frac{a}{z}} - \left( \frac{1}{1-\frac{z}{b}} -1\right)\\
&= \frac{z}{z-a} - \frac{b}{b-z} +1\\
&= \frac{z\ (b-z) - b\ (z-a) + (z-a)\ (b-z)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{z\ (b-z) - z\ (z-a)}{(z-a)\ (b-z)}\\
&= \frac{(b+a-2z)\ z}{(z-a)\ (b-z)} \end{split}
\]
se non erro.
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