Trasformata Zeta
Buongiorno, mi servirebbe un aiuto per il seguente esercizio.
Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge:
$\{(x(n+1)-2x(n)=a_n),(x(0)=0):}$
dove $a_n= 1$ se $n$ è multiplo di $4$ e $a_n=0$ altrimenti.
Mi servirebbe una mano nel trasformare il secondo membro.
Ho provato a distinguere i vari casi ma in questo modo mi escono 4 diverse serie difficili da svolgere.
Grazie dell'aiuto.
Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge:
$\{(x(n+1)-2x(n)=a_n),(x(0)=0):}$
dove $a_n= 1$ se $n$ è multiplo di $4$ e $a_n=0$ altrimenti.
Mi servirebbe una mano nel trasformare il secondo membro.
Ho provato a distinguere i vari casi ma in questo modo mi escono 4 diverse serie difficili da svolgere.
Grazie dell'aiuto.
Risposte
Vediamo i conti.
ma non dovrebbe essere $a_0=1$? Fammi sapere...
Allora io ho fatto così:
$Z[a_n]=\sum_{n=0}^\infty a_nz^(-n)=\sum_{n=4k+1}^\infty a_nz^(-n)+\sum_{n=4k+2}^\infty a_nz^(-n)+\sum_{n=4k+3}^\infty a_nz^(-n)+\sum_{n=4k}^\infty a_nz^(-n)=\sum_{k=0}^\infty 2^(4k+1)z^(-4k-1)+\sum_{k=0}^\infty 2^(4k+2)z^(-4k-2)+\sum_{k=0}^\infty 2^(4k+3)z^(-4k-3)+\sum_{k=0}^\infty z^(-4k)$
Da qui in poi non riesco a continuare.
$Z[a_n]=\sum_{n=0}^\infty a_nz^(-n)=\sum_{n=4k+1}^\infty a_nz^(-n)+\sum_{n=4k+2}^\infty a_nz^(-n)+\sum_{n=4k+3}^\infty a_nz^(-n)+\sum_{n=4k}^\infty a_nz^(-n)=\sum_{k=0}^\infty 2^(4k+1)z^(-4k-1)+\sum_{k=0}^\infty 2^(4k+2)z^(-4k-2)+\sum_{k=0}^\infty 2^(4k+3)z^(-4k-3)+\sum_{k=0}^\infty z^(-4k)$
Da qui in poi non riesco a continuare.
Sinceramente non vedo la logica dietro quei passaggi...
Se tu stesso hai detto che \(a_n=0\) per \(n=4k+1,4k+2,4k+3\) (che sono tutti i numeri non multipli di \(4\)) e che \(a_n=1\) se \(n=4k\) (che sono i multipli di \(4\)) per \(k\in \mathbb{N}\), come fanno a venirti quei \(2^{\text{zozzeria}}\) nei coefficienti delle serie?
Se tu stesso hai detto che \(a_n=0\) per \(n=4k+1,4k+2,4k+3\) (che sono tutti i numeri non multipli di \(4\)) e che \(a_n=1\) se \(n=4k\) (che sono i multipli di \(4\)) per \(k\in \mathbb{N}\), come fanno a venirti quei \(2^{\text{zozzeria}}\) nei coefficienti delle serie?
Scusa ma ho sbagliato la traccia...negli altri casi vale $2^n$... Non sono impazzito 
Uff... Anche per evitare queste situazioni imbarazzanti nell'avviso c'è scritto di controllare il testo di ciò che si posta.
In ogni caso, ti basta usare opportunamente la somma della serie geometrica.
In ogni caso, ti basta usare opportunamente la somma della serie geometrica.
Errare è umano 
...comunque l'aiuto mi serviva proprio nella parte finale, ma grazie lo stesso!
...comunque l'aiuto mi serviva proprio nella parte finale, ma grazie lo stesso!
Tanto per essere più esplicito, hai:
\[
\begin{split}
\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{4k+1}}{z^{4k+1}} &= \frac{2}{z}\ \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{2^4}{z^4}\right)^k \\
&\stackrel{\text{serie geom.}}{=} \frac{2}{z}\ \frac{1}{1-\frac{2^4}{z^4}}\\
&= \frac{2z^3}{z^4-2^4}
\end{split}
\]
e similmente si gestiscono le altre somme.
Prova a fare i conti.
\[
\begin{split}
\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{4k+1}}{z^{4k+1}} &= \frac{2}{z}\ \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{2^4}{z^4}\right)^k \\
&\stackrel{\text{serie geom.}}{=} \frac{2}{z}\ \frac{1}{1-\frac{2^4}{z^4}}\\
&= \frac{2z^3}{z^4-2^4}
\end{split}
\]
e similmente si gestiscono le altre somme.
Prova a fare i conti.
Okok grazie...ora è molto più chiaro 
@bblack25:Scusa l'intromissione. Perchè non risolvi con la funzione generatrice ? Eviteresti un sacco di calcoli. Io ho ottenuto questa soluzione:
\(\displaystyle x(n)=\frac{16}{15}2^{n-1}\left[1-\left(\frac{1}{16}\right)^{\left\lfloor \frac{n-1}{4}\right\rfloor -1}\right]\)
\(\displaystyle x(n)=\frac{16}{15}2^{n-1}\left[1-\left(\frac{1}{16}\right)^{\left\lfloor \frac{n-1}{4}\right\rfloor -1}\right]\)
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