Trasformata unilatera: mi manca il ragionamento

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17 feb 2006, 12:58

Allora ho una trasformata di Laplace di cui non so come si procede per avere il risultato

Cioè ho questa: $L(sin t u(t-pi/4)) $ come faccio ad avere $ e^-(pi/4s) L_u (sin(t+pi/4)) $ ?

l'esponenziale l'ho capito la perchè il seno diventa così?

$u(t) $ è il gradino unitatio che vale $1$ per $t>0$, e vale $0$ per$ t<0$
ciao e grazie

Risposte

Luke1984

17 feb 2006, 12:42

$Lu{sint*u(t-pi/4)}=int_(0)^oosint*u(t-pi/4)*e^(-st)dt=int_(pi/4)^oosint*e^(-st)dt=int_(0)^oosin(y+pi/4)*e^(-s(y+pi/4))dy=$
$=e^(-spi/4)Lu{sin(t+pi/4)}$

Ho usato la sostituzione $t-pi/4=y$

Bandit1

17 feb 2006, 12:54

scusa ma non le regole non si può ricondurre al risultato?
visto che il terzo passaggio non è agevole

Luke1984

17 feb 2006, 13:03

Può darsi che riesci a farlo solo con le regole....
Ora sono di fretta, ci do un'occhiata con calma stasera.
Forse combinando la regola della traslazione e quella del prodotto ci riesci, ma credo che in quel caso devi scrivere il seno con le formule di eulero e viene comunque più lungo....

Luke1984

17 feb 2006, 21:28

"Bandit":

visto che il terzo passaggio non è agevole

In quel passaggio ho solo fatto la sostituzione $t-pi/4=y$ e quindi hai $dt=dy$ e riesci così a fare tornare lo zero a primo estremo d'integrazione: uso la formula dell'integrale per sostituzione come trucchetto perchè l'integrale torni ad essere nuovamente nella "forma" di una trasformata unilatera (ma che stavolta so calcolare facilmente).

Dopotutto la trasformata di Laplace è definita con una formula ben precisa: io l'ho semplicemente applicata, facendo finta di non conoscere le altre regole e ho dimostrato la tua identità:

$L_u(sin t u(t-pi/4))=e^-(pi/4s) L_u (sin(t+pi/4))$

In questo caso provare a farlo solo con l'uso delle regole ti porta sì al risultato, ma con mooolti più passaggi.
Comunque te li mostro:

Calcolo prima di tutto la trasformata del "gradino ritardato":
$L_u{u(t-pi/4)}=1/se^(-spi/4)$

Ora cerco di ricondurmi alla formula del prodotto per un esponenziale:
$L_u{e^(at)f(t)}=F(s-a)$

scrivendo
$L_u{sintu(t-pi/4)}=L_u{(e^(jt)-e^(-jt))/(2j)u(t-pi/4)}=1/(2j)L_u{e^(jt)u(t-pi/4)}-1/(2j)L_u{e^(-jt)u(t-pi/4)}=$
$=1/(2j)1/(s-j)e^(-pi/4(s-j))-1/(2j)1/(s+j)e^(-pi/4(s+j))=1/(2j)e^(-spi/4)[1/(s-j)e^(jpi/4)-1/(s+j)e^(-jpi/4)]=$
$=1/(2j)e^(-spi/4)[(s+j)(sqrt2/2+jsqrt2/2)-(s-j)(sqrt2/2-jsqrt2/2)]/(s^2+1)=e^(-spi/4)sqrt2/2(s+1)/(s^2+1)=$
$=e^(-spi/4)sqrt2/2L[sint+cost]$

nel 1° passaggio ho usato le formule di eulero
nel 3° passaggio ho applicato la formula del prodotto per un esponenziale
nel 6° passaggio ho saltato un po' di conti...

e ora ti faccio vedere che espandendo il secondo membro della tua identità ottengo la stessa cosa:
$e^(-spi/4)L_u{sin(t+pi/4)}=e^(-spi/4)L_u{sin(t)cos(pi/4)+costsin(pi/4)}=e^(-spi/4)sqrt2/2L[sint+cost]$

usando le solite formule trigonometriche

Spero di averti convinto che ricordare qualcosa sugli integrali forse è più conveniente

Bandit1

17 feb 2006, 22:54

ok grazie.
Si con gli integrali è + veloce, però così facendo credo che sia + meccanico e facile da ricordare. Cmq me lo rivedrò il fatto degli integrali.
CIAO!!!!!

marcoM1

15 mag 2015, 11:28

Io l'avrei risolta in questo modo.

Andavo a scrivere ==> $ sen(t+pi/4) = (sen t)/sqrt2 + (cos t)/ sqrt2 $

perciò:

$ L[(sent)u(t-pi/4)]= ^((**)) e^(- s*pi/4)L[sen(t+pi/4)] = e^(- s*pi/4) {L[sen t] +L[cos t]}/sqrt2 =

e^(- s*pi/4)/ sqrt 2 * (1+s)/(s^2+1)$

$(**)$ Qui ho applicato la proprietà della traslazione in t