Trasformata Fourier operatori

[Light_1]

Salve a tutti , non riesco a trovare l'errore che faccio in questo passaggio,

Avendo che

$ psi(x)=1/(sqrt(2pih_t))int_(-oo)^(+oo) dpe^(ikx) varphi (p) $

$ varphi (p) =1/(sqrt(2pih_t))int_(-oo)^(+oo) dxe^(-ikx) psi(x) $

con $k=p/(h_t)$ e sapendo che gli operatori definiti in seguito rispettano la relazione di commutazione

$ [hat(x),hat(p) ]=ih_t $ ho dunque che in questo senso che

\( \psi (x)\longleftrightarrow \varphi (p) \)

Ora voglio calcolarmi l'effetto dell'operatore \( \hat{p} \) definito in questo modo

$ \hat{p} psi(x)=h_t/(i)(partial)/(partialx)psi(x) $

ho allora

$ h_t/(i)(partial)/(partialx)psi(x)=h_t/(i)(partial)/(partialx)1/(sqrt(2pih_t))int_(-oo)^(+oo) dpe^(ikx) varphi (p)= $

$ h_t/(i)1/(sqrt(2pih_t))ikint_(-oo)^(+oo) dpe^(ikx) varphi (p) =$ $ 1/(sqrt(2pih_t))int_(-oo)^(+oo) dpe^(ikx) pvarphi (p) $

e dunque

\( \frac{h_t}{i} \frac{\partial^{}}{\partial x} \psi (x)\longleftrightarrow p\varphi (p) \) ,

voglio fare la stessa cosa per l'operatore

\( \hat{x} \psi (x)=x\psi (x) \) allora ho

$ \hat{x} \psi (x)=1/(sqrt(2pih_t))int_(-oo)^(+oo) dpxe^(ikx) varphi (p) $

$ h_t/(isqrt(2pih_t))int_(-oo)^(+oo) dp((partial)/(partial p) e^((ipx)/(h_t))) varphi (p) $

e quindi ho

$ hat(x)psi (x)= -ih_t(partial)/(partial p) varphi (p) $

mentre invece deve essere

$hat(x)psi (x)= ih_t(partial)/(partial p) varphi (p)$


Grazie per l'aiuto.

[dissonance]

Per fare traslocare $\partial_p$ su $\phi(p)$ devi integrare per parti. E quindi prendi un segno meno.

[Light_1]

Ho capito grazie