Trasformata fourier
Buongiorno a tutti,
non riesco a trovare la trasformata di Fourier della seguente funzione:
exp(-a*t^2) con a>0
grazie a tutti
ciao[/chessgame]
non riesco a trovare la trasformata di Fourier della seguente funzione:
exp(-a*t^2) con a>0
grazie a tutti
ciao[/chessgame]
Risposte
Ciao e benvenuto nel forum! Ti segnalo un link: https://www.matematicamente.it/forum/su- ... 41906.html
Ti dò un suggerimento per il tuo esercizio: guarda su qualche tavola di trasformate di Fourier, ti accorgerai che $\hat{[e^(-t^2)]}$ è una "trasformata notevole" che conviene ricordare per poi usarla nei calcoli (esattamente come ti ricordi dei limiti notevoli o delle primitive). Inoltre se conosci la trasformata di una funzione $u(x)$, mediante questa formula
$\hat{[u(lambdax)]}=1/lambda \hat{u} (xi/lambda)$
puoi calcolare anche la trasformata di $u(lambdax),\ lambda>0$.
Ti dò un suggerimento per il tuo esercizio: guarda su qualche tavola di trasformate di Fourier, ti accorgerai che $\hat{[e^(-t^2)]}$ è una "trasformata notevole" che conviene ricordare per poi usarla nei calcoli (esattamente come ti ricordi dei limiti notevoli o delle primitive). Inoltre se conosci la trasformata di una funzione $u(x)$, mediante questa formula
$\hat{[u(lambdax)]}=1/lambda \hat{u} (xi/lambda)$
puoi calcolare anche la trasformata di $u(lambdax),\ lambda>0$.
Effettivamente quella è una trasformata "notevole", ma non sarebbe così complicato calcolarla:
$F[e^(-at^2)]=\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-at^2)e^(-j2\pift)dt=\int_(-\infty)^(+\infty)e^-(at^2+j2\pift+((j\pif)/\sqrt{a})^2)e^(-(\pif)^2/a)dt=e^(-(\pi^2f^2)/a)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-(\sqrt{a}t+(j\pif)/\sqrt{a})^2)dt$
ora ponendo $y=\sqrt{a}t+(j\pif)/\sqrt{a}$ da cui $dt=1/\sqrt{a}dy$, si ha
$e^(-(\pi^2f^2)/a)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-(\sqrt{a}t+(j\pif)/\sqrt{a})^2)dt=1/sqrt{a}e^(-(\pi^2f^2)/a)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-y^2)dy$
Inoltre, ricordando che
$\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-x^2)dx=\sqrt{\pi}$
ottieni
$F[e^(-at^2)]=\sqrt{\pi/a}e^(-(\pi^2f^2)/a)
Una gaussiana in un dominio corrisponde ad una gaussiana anche nell'altro dominio ma con dispersione opposta.
$F[e^(-at^2)]=\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-at^2)e^(-j2\pift)dt=\int_(-\infty)^(+\infty)e^-(at^2+j2\pift+((j\pif)/\sqrt{a})^2)e^(-(\pif)^2/a)dt=e^(-(\pi^2f^2)/a)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-(\sqrt{a}t+(j\pif)/\sqrt{a})^2)dt$
ora ponendo $y=\sqrt{a}t+(j\pif)/\sqrt{a}$ da cui $dt=1/\sqrt{a}dy$, si ha
$e^(-(\pi^2f^2)/a)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-(\sqrt{a}t+(j\pif)/\sqrt{a})^2)dt=1/sqrt{a}e^(-(\pi^2f^2)/a)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-y^2)dy$
Inoltre, ricordando che
$\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-x^2)dx=\sqrt{\pi}$
ottieni
$F[e^(-at^2)]=\sqrt{\pi/a}e^(-(\pi^2f^2)/a)
Una gaussiana in un dominio corrisponde ad una gaussiana anche nell'altro dominio ma con dispersione opposta.
Io ho un metodo "alternativo/divertente" per calcolare tale trasformata: chiamiamola $F(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}\ dt$. Allora
$F'(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}-2j\pi t e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}\ dt=j\pi\int_{-\infty}^{+\infty} (-2t e^{-at^2}) e^{-2j\pi\xi t}\ dt=$
integrando per parti
$=j\pi\{[1/a e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}]_{-\infty}^{+\infty}-1/a\int_{-\infty}^{+\infty} -2j\pi\xi e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}\ dt\}$.
Ora si può osservare che
$|e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}|=e^{-at^2}\rightarrow 0$ per $t\rightarrow\pm\infty$ e $a>0$. Ma allora il primo termine nell'integrazione per parti sparisce e si ha
$F'(\xi)=-2/a \pi^2\xi\ F(\xi)$, e quindi la trasformata deve soddisfare a questa equazione differenziale del primo ordine. Si ha quindi
$F(\xi)=C\ e^{-\pi^2/a\xi^2}$. Per calcolare il valore di $C$ osserviamo che
$C=F(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-at^2}\ dt=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$. (utilizzando l'integrale noto della gaussiana esteso a tutto l'asse reale.)
$F'(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}-2j\pi t e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}\ dt=j\pi\int_{-\infty}^{+\infty} (-2t e^{-at^2}) e^{-2j\pi\xi t}\ dt=$
integrando per parti
$=j\pi\{[1/a e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}]_{-\infty}^{+\infty}-1/a\int_{-\infty}^{+\infty} -2j\pi\xi e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}\ dt\}$.
Ora si può osservare che
$|e^{-at^2} e^{-2j\pi\xi t}|=e^{-at^2}\rightarrow 0$ per $t\rightarrow\pm\infty$ e $a>0$. Ma allora il primo termine nell'integrazione per parti sparisce e si ha
$F'(\xi)=-2/a \pi^2\xi\ F(\xi)$, e quindi la trasformata deve soddisfare a questa equazione differenziale del primo ordine. Si ha quindi
$F(\xi)=C\ e^{-\pi^2/a\xi^2}$. Per calcolare il valore di $C$ osserviamo che
$C=F(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-at^2}\ dt=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$. (utilizzando l'integrale noto della gaussiana esteso a tutto l'asse reale.)
Via ingrazio per la tempestività,
ho una domanda per per Lomax:
ma quell' e^((-pi*d)^2)/a)
da dove salta fuori e per che nell integrale hai inserito la radice di a?
grazie ciao
ho una domanda per per Lomax:
ma quell' e^((-pi*d)^2)/a)
da dove salta fuori e per che nell integrale hai inserito la radice di a?
grazie ciao
Se intendi $e^(-(\pif)^2/a)$, ti accorgi che l'ho semplicemente aggiunto e sottratto come esponenziale per poter ottenere un quadrato perfetto. Il fattore $\sqrt{a}$ viene fuori proprio da questo fatto. Infatti, se confronti i due passaggi puoi notare che dal primo al secondo ho semplicemente raggruppato i termini in un quadrato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo