Trasformata fourier
Ciao a tutti..... Mi viene chiesto di calcolare la trasformata di $ sgn(Acos(2pift)) $ con $ A>0$ mi potete dare un aiuto? Nn riesco a capire come é strutturato questo segnale!
Risposte
Ho fatto teoria dei segnali pochi mesi fa e per F-trasformate di questo tipo in genere si parte col disegnare la funzione.
Nel tuo caso il disegno è abbastanza semplice: disegna normalmente la funzione coseno da $-T_0 a T_0$ con$ T_0=1/f$;
Dopodichè applica la funzione $ sgn$ graficamente e cioè fai corrispondere 1 alla parte in cui la funzione è maggiore di 0 e -1 alla parte in cui il coseno è negativo.L'idea è quella di sviluppare il segnale in serie di Fourier e poi farne la trasformata, quindi scriviti il segnale limitato ad un periodo(detto generatore) come somma di due $rect$ opportune(in genere io prendo sempre quella centrata sull'origine e quella centrata su $T_0/2)$ .Una volta preso il segnale generatore, applichi la formula di Poisson per trovare i coefficienti della serie di Fourier e quindi fai la trasformata del generatore valutata in $k/(T_0)$.Adesso che hai i coefficienti puoi scrivere tranquillamente la serie di Fourier che corrisponde esattamente al tuo segnale iniziale ma è più facile da trattare e quindi da trasformare.La serie di Fourier sarà una cosa del tipo : $ y(t)= sum_(k = -oo)^(+oo) Y_k e^(j 2pi k/(T_0) t)$ pertanto trasformando membro a membro ottieni $ cc(F)[y(t)]= sum_(k = -oo)^(+oo) Y_k cc(F)[e^(j 2pi k/(T_0)t) ]$. Per cui
$ cc(F)[y(t)]= sum_(k = -oo)^(+oo) Y_k delta(f- k/(T_0)) ]$. Come vedi basta trovare i coefficienti ed il gioco è fatto
... fammi sapere se è chiaro!
Nel tuo caso il disegno è abbastanza semplice: disegna normalmente la funzione coseno da $-T_0 a T_0$ con$ T_0=1/f$;
Dopodichè applica la funzione $ sgn$ graficamente e cioè fai corrispondere 1 alla parte in cui la funzione è maggiore di 0 e -1 alla parte in cui il coseno è negativo.L'idea è quella di sviluppare il segnale in serie di Fourier e poi farne la trasformata, quindi scriviti il segnale limitato ad un periodo(detto generatore) come somma di due $rect$ opportune(in genere io prendo sempre quella centrata sull'origine e quella centrata su $T_0/2)$ .Una volta preso il segnale generatore, applichi la formula di Poisson per trovare i coefficienti della serie di Fourier e quindi fai la trasformata del generatore valutata in $k/(T_0)$.Adesso che hai i coefficienti puoi scrivere tranquillamente la serie di Fourier che corrisponde esattamente al tuo segnale iniziale ma è più facile da trattare e quindi da trasformare.La serie di Fourier sarà una cosa del tipo : $ y(t)= sum_(k = -oo)^(+oo) Y_k e^(j 2pi k/(T_0) t)$ pertanto trasformando membro a membro ottieni $ cc(F)[y(t)]= sum_(k = -oo)^(+oo) Y_k cc(F)[e^(j 2pi k/(T_0)t) ]$. Per cui
$ cc(F)[y(t)]= sum_(k = -oo)^(+oo) Y_k delta(f- k/(T_0)) ]$. Come vedi basta trovare i coefficienti ed il gioco è fatto
... fammi sapere se è chiaro!
Dimmi se sbaglio: io mi scrivo quel segnale come somma di due rect, poi mi calcolo il coefficiente di fourier mediante lo sviluppo in serie e poi applico quella formula? Un altra cosa: posso calcolarmi quella trasformata utilizzando la definizione di trasformata di fourier analizzando separatamente quando il coseno e negativo e quando il coseno è positivo? Il risultato che ho è questo : $ 1/(j2pif) $
"Fra1988":
poi mi calcolo il coefficiente di fourier mediante lo sviluppo in serie
Che significa? i coefficienti,essendo il segnale periodico, li calcoli con la prima formula di Poisson come ti ho detto su!
"Fra1988":
Un altra cosa: posso calcolarmi quella trasformata utilizzando la definizione di trasformata di fourier analizzando separatamente quando il coseno e negativo e quando il coseno è positivo?
Le trasformate in linea di principio possono sempre essere calcolate mediante la definizione ma qui ti complicheresti la vita di non poco anche perchè la funzione che vuoi trasformare non è un coseno ma è un'onda quadra... Pertanto se vuoi calcolarla con la definizione devi far variare gli estremi in modo opportuno piazzandoci una sommatoria davanti all'integrale(è un suicidio non pensarci nemmeno):roll:
"Fra1988":
Il risultato che ho è questo : $ 1/(j2pif) $
è sbagliato il risultato ti deve venire simile a quello che ti ho scritto.. i coefficienti ad occhio dovrebbero essere delle $cc(sinc)$ di qualcosa (non so perchè nn riesco a scrivere correttamente il seno cardinale cmq ci siamo intesi)
Ripeto fai esattamente quello che ti ho detto nel primo post e risolvi l'esercizio in 5 minuti
Okey mi dici un altra cosa?... Perche per calcolare segnali a energia infinita ho bisogno della nozione di delta di dirac? Se per esampio prendo il segnale $1/t$ a cosa mi serve la delta di dirac per calcolare la trasformata?
"Fra1988":
Okey mi dici un altra cosa?... Perche per calcolare segnali a energia infinita ho bisogno della nozione di delta di dirac? Se per esampio prendo il segnale $1/t$ a cosa mi serve la delta di dirac per calcolare la trasformata?
Ti ho risposto nell'altro post.. e cmq la trasformata di $1/t$ non la vede neanche lontanamente la delta di dirac...va precisato solo in che senso fare quell'integrale come ti ho detto nell'altro post. Se fai un po' di conti la trasformata ti viene $-j pi sgn(f)$
Cmq ti invito a prendere il libro in mano perchè sicuro stanno spiegate!
ok grazie..... sei stato gentilissimo...
prego! ci sono passato anche io 
scusa una cosa.... ma come è possibile che utilizzando le equazioni di poisson il coefficiente $ Y $ mi venga nullo??
$Y=\int_(-T/2)^(T/2) sgn(Acos(2pift))*e^(-j2pikft)dt$ ho risolto questo integrale dividendolo in due integrali al variare del coseno e in fondo ai calcoli mi trovo : $ 1/(j2pikf) (e^(-jpik/2) - e^(-jpik/2)) $ come è possibile??
credo che hai tentato di applicare la definizione...Quella assolutamente non è la prima formula di Poisson.La prima formula di Poisson ti dice che i coefficienti di un segnale periodico(ovviamente) si calcolano in questo modo:
-trovi un generatore;
-ne fai la trasformata;
-valuti la trasformata in f= (K/T_0) e moltiplichi il tutto per 1/T_0;
P.S. sei fissato con l'applicazione di definizioni eh? La trasformata di Fourier ha moltissime proprietà e ci sono moltissimi teoremi su di essa...Se volessimo applicare sempre le definizioni oltre a metterci una vita per fare i conti,si rischia di sbagliare perchè le cose si complicano.Alla fine l'ho fatto e i coefficienti vengono $A sinc(k/2)-sinc(k)$ Sono veramente questi o abbiamo sbagliato i conti? La TEORIA insegna che essendo questo un segnale alternativo i coefficienti di Fourier pari devono essere nulli, altrimenti sicuramente abbiamo sbagliato qualcosa. Se uno ti da un consiglio cerca di seguirlo altrimenti questo forum non serve a niente ok?
EDIT: ho appena notato che il risultato che hai scritto è quasi corretto. Al posto di K dovrebbe esserci K/2, manca una A e una f è di troppo.
-trovi un generatore;
-ne fai la trasformata;
-valuti la trasformata in f= (K/T_0) e moltiplichi il tutto per 1/T_0;
P.S. sei fissato con l'applicazione di definizioni eh? La trasformata di Fourier ha moltissime proprietà e ci sono moltissimi teoremi su di essa...Se volessimo applicare sempre le definizioni oltre a metterci una vita per fare i conti,si rischia di sbagliare perchè le cose si complicano.Alla fine l'ho fatto e i coefficienti vengono $A sinc(k/2)-sinc(k)$ Sono veramente questi o abbiamo sbagliato i conti? La TEORIA insegna che essendo questo un segnale alternativo i coefficienti di Fourier pari devono essere nulli, altrimenti sicuramente abbiamo sbagliato qualcosa. Se uno ti da un consiglio cerca di seguirlo altrimenti questo forum non serve a niente ok?
EDIT: ho appena notato che il risultato che hai scritto è quasi corretto. Al posto di K dovrebbe esserci K/2, manca una A e una f è di troppo.
okk.... grazie mille!!!
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