Trasformata e Antitrasformata Z

[PandaZero]

Buonasera a tutti.
Posto qui di seguito un esercizio di una Z-Trasformata e Z-Antitrasformata (in special modo). Vorrei sapere se il procedimento in generale e' corretto:

$\{(x(n+1) - x(n) = a_n), (x(0)=0):} $ con $a_n ={(1,if n=0),(1,if n=1),(1/3^n,if n>=2):} $

TRASFORMATA

$Z(z)= 2/(3z(z-1)) + (3z)/((3z-1)(z-1)) $

Non ho esplicitato i calcoli siccome la stessa trasformata di successioni e' stata affrontata qualche post fa.


ANTITRASFORMATA

Utilizzando la definizione:

$x(n) = 1/(2jpi) \int_{gamma} (2z^(n-1))/(3z(z-1)) + (3z^n)/((3z-1)(z-1)) dz$

Risolvibile con il teorema dei residui:

$Rf_1(1)= (2z^(n-1))/(3z)]_1 = 2/3 $

$Rf_2(1)= (3z^n)/(3z-1)]_1 = 3/2 $

$Rf_2(1/3)= (3z^n)/(3(z-1))]_(1/3) = -3/2 (1/3)^n $

Quindi:

$x(n) = 2/3 + 3/2 - 3/2 (1/3)^n$

Ho provato a sostituire questo risultato nell'espressione di partenza ma non sono sicuro che sia quella corretta (siccome la condizione n=1 non mi verifica l'identita').
Forse qualche residuo errato? La discussione della soluzione e' sufficiente lasciarla cosi' in generale oppure va specificata anche per i casi n=0,1 ?

[Ska1]

Non ti sei dimenticato i residui in $z=0$? Sono un po' rognosi da studiare... soprattutto per quanto riguarda il secondo termine.

Per antitrasformare ti conviene usare la scomposizione in fratti semplici e poi antitrasformare per riconoscimento i termini che ottieni.

[gugo82]

Propongo una soluzione alternativa, visto che si risparmiano un po' di conti con una semplicissima considerazione.

Consideriamo una serie [tex]\sum \alpha (k)[/tex]; come noto la [tex]$n$[/tex]-esima somma parziale di tale serie è definita come:

[tex]$s(n):=\sum_{k=0}^n \alpha (k)$[/tex]

ed è evidente che i termini della successione delle somme parziali [tex]$s(n)$[/tex] soddisfano una relazione ricorrente del tipo:

[tex]$s(n+1)=s(n)+\alpha (n+1)$[/tex]

con condizione iniziale:

[tex]$s(0)=\alpha (0)$[/tex],

quindi [tex]$s(n)$[/tex] soddisfa il problema:

(*) [tex]$\begin{cases} s(n+1)-s(n)=\alpha (n+1) \\ s(0)=\alpha (0)\end{cases}$[/tex];

viceversa ogni successione [tex]$s(n)$[/tex] che soddisfi un problema del tipo (*) è certamente la successione delle somme parziali di una serie, il cui primo addendo è [tex]$\alpha (0)=s(0)$[/tex] ed i successivi sono [tex]$\alpha (n)=s(n)-s(n-1)$[/tex].

Se guardiamo la ricorrenza assegnata ci accorgiamo che essa è dello stesso tipo di (*): pertanto la [tex]$x(n)$[/tex] è certamente la successione delle somme parziali di una serie e, precisamente, di quella serie che ha come primo addendo [tex]$x(0)=0$[/tex] e come addendi successivi i termini della successione [tex]$a(n)$[/tex].
Pertanto, senza fare alcun calcolo si stabilisce che:

[tex]$x(0)=0,\ x(1)=a(0),\ x(2)=a(0)+a(1),\ \ldots ,\ x(n)=\sum_{k=0}^{n-1} a(k)$[/tex];

quindi:

[tex]$x(0)=0$[/tex]
[tex]$x(1)=1$[/tex]
[tex]$x(2)=2$[/tex]
...
[tex]$x(n)=2+\sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{3^k} $[/tex]
[tex]$= 2-1-\frac{1}{3}+\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{3^k} $[/tex]
[tex]$= \frac{2}{3}+\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}} $[/tex]
[tex]$=\frac{2}{3}+ \frac{3^n -1}{2\ 3^{n-1}}$[/tex]
[tex]$=\frac{13\ 3^{n-2} -1}{2\ 3^{n-1}}$[/tex] per [tex]$n\geq 3$[/tex],

in cui ho tenuto presente che:

[tex]$\sum_{k=0}^{n-1} \lambda^k =\frac{1-\lambda^n}{1-\lambda}$[/tex]

come noto da Analisi I.

[Ska1]

Ci sarei arrivato forse asintoticamente , bella alternativa!